§ 47. Schlufsahschnitte v. Fourier's Théorie analytique de la chaleur. 467

Fourier zeigt femer ^^^), dafs man von seiner Form des Integrals der Gleichung der Wärmeleitung mit nur einer Eaumcoordinate (§ 42, 4) durch Ausführung der Integration nach q zu der Form (3) geführt wird, die ihrerseits, wie schon bemerkt, mit Laplace^s Form § 37 (8) eng verwandt ist; sodafs also durch diese Zwischenglieder die Verbindung zwischen der Formel § 42 (4) und der Entwicklung des Integrals nach Potenzen der Zeit hergestellt ist. Um eine Integralformel herzuleiten, die in analoger Beziehung zur wicklung nach Potenzen der Distanz:

w=0 n—Q

Steht , leitet er^^*^) aus § 42 (6) ab, dafs allgemein:

00

f ( 2« ) ( ^ ) =«=. -biZl f ß^»coB(pt-pa)f{a)dudp (25)

— CO

sei , setzt diesen Ausdruck in (24) ein und summirt unter den Integralzeichen; so erhält er für einen Bestandteil von v die Integralform:

~ ГА^"" + ^"^ V cos (xy^Gos(pt-pa)f(a) da dp - ^ (26)

in analoger Weise lassen sich die drei übrigen Bestandteile umformen. Fourier hat aber auch die Gleichung § 42 (6) selbst noch einer genaueren Untersuchung unterworfen. Durch Ausführung der gration in Bezug auf q findet er zunächst ^^^):

f ( a> ) ^^^iffi . y^f_ - J''^äa . (27)

2340 ) nr. 398, p. 464.

2341 ) nr, 413, p, 490. G. Darboux zeigt in einer Note p. 492, wie man zu dena Resultat von der Bemerkung aus gelangen kann, dafe das Element des Integrals der Differentialgleichung genügt.

2342 ) nr. 415, p. 494. Fourier bedient sich weder hier noch sonst des Zeichens lim, sondern sagt einfach: die Grleichung gilt für p = сю. Übrigens giebt er an, dafs diese üntersudiungen zu seinen ältesten hören; dock sind sie in die Redaction von 1811 *®®^) nicht aufgenommen.

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