Konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender Bereiche 125

lekte Bemerkung gilt, wenn es mehr als eine Abbildung des gegebenen Bereiches auf den Kreisbereich gibt, für jede einzelne dieser Abbildungen. Aus III und IV folgt

\ , Jeder beliebige die Ebene schlicht überdeckende dreifach zusammen- Jiängende Bereich Ыпп Jconform auf einen Kreisbereich abgebildet werden. Anmerkung: Offenbar ist jeder ^dreifach zusammenhängende bereich zu sich selbst symmetrisch, nämlich in bezug auf denjenigen Kreis, welcher die drei begrenzenden Kreise orthogonal schneidet.

Wir erwähnen noch folgende, die konforme Abbildung symmetrischer Bereiche betreffende Sätze:

VI . Jeder in bezug auf die Achse des Beeilen zu sich selbst metrische schlichtblattrige Bereich, dessen sämtliche Begrenzungslinien durch die Achse des Beeilen hindurchgehen, läßt sich konfi/rm und zwar in metrischer Weise auf einen von lauter auf der Achse des Beeilen getrennt liegenden geradlinigen Strecken begrenzten schlichten Bereich abbilden})

VIL Sind zwei (q-\-l)-fach (^^2) zusammenhängende schlichte Bereiche, deren jeder von q-\-1 auf der Achse des Beeilen getrennt liegenden geradlinigen Strecken begrenzt wird, konform auf einander abgebildet, so 1st die analytische Funktion, welche die konforme Abbildung vermittelt, eine lineare Funktion mit reellen Koeffizienten.

VIII . Sind zwei schlichte, (q + l)-fach zusammenhängende Bereiche, von welchen jeder гп bezug auf die Achse des Beeilen zu sich selbst metrisch ist, konform auf einander abgebildet, so gehen bei dieser bildung sijmmetriseh gelegene Funkte des einen Bereiches in symmetrisch (jelegene Punkte des andern Bereiches über.

Die in VI als möglich behauptete konforme Abbildung wird halten, wenn man die obere Hälfte des gegebenen Bereichs konform auf die obere Halbebene abbildet und darauf das Spiegelungsprinzip anwendet.

Satz VII kann folgendermaßen bewiesen werden: Die analytische Funktion, welche die betrachtete konforme Abbildung vermittelt, leistet auf Grund des Spiegelungsprinzips die konforme Abbildung zweier tischen Riemannschen Flächen auf einander. Die beiden hyperelliptischen

1 ) Über die konforme Abbildung eines beliebigen schlichten (ç -j- l)-fach sammenhängenden Bereichs auf einen von 9 -j- 1 parallelen geradlinigen Strecken begrenzten Bereich s. Schottky (1 c.) pag. 330, s. auch Schottky. Über die schwankungen der harmonibchen Funktionen zweier reellen Veränderlichen und der Funktionen eines komplexen Arguments Journal f. Mathematik Bd. 117, § 6 und 7. Derselbe: Über die charakteristischen Gleichungen symmetrischer ebener Flächen und die zugehörenden Ab eischen Funktionen Journal für Mathematik, Bd, 106, § 1—3.