über ebene Kurvennetze ohne TJmwege. 209

bis zu einem Punkte (JBg), wo (Ä^) und (Ä^) auf einer Kurve (CJ, (Д) und (JSg) auf einer Kurve (Cg) der Schar (p = const, liegen sollen, so erhält jedesmal die Funktion (p selben Zuwachs, der absolut genommen, sowohl gleich der Bogenlänge Л^В^^ wie gleich der Bogenlänge A^Bi i^^- Aus den für y- usw. aufgestellten

Ausdrücken folgt leicht, daß sich die

Kurven eines Netzes ohne Umwege nur

dann unter konstantem Winkel schneiden,

wenn die Schar ç? = const, aus parallelen Kurven besteht. Letztere

werden dann von den Kurven jeder Schar des Netzes ebenfalls unter

konstantem Winkel geschnitten.

Wir zeigen jetzt, daß die Schar gp-const, mit einer der beiden Kurvenscharen zusammenfällt, die von den Winkelhalbierungslinien der Kurven (K^) und (K2) gebildet werden.

Es sei:

dx dj.

==

cos

^1 ,

dy

dB ,

=

sin

»г ,

dx ds^ 1

=

cos

#2 ,

ds^

=

sin

» , .

; k :

^

2

2 __

sin -Э*! cos^i

+

sin

cos

Für den Ausdruck

erhalten wir, wenn f« == £, den Wert ^^, wenn £^ = -— s. den Wert — ^ •

' ^ / Ф1 ' 2 1 qp^

Im zweiten Fall halbiert also die ïangente der den Punkt (x, y) ziehenden Kurve 9} = const, den Winkel ^i — d'^j im ersten Fall halbiert sie den Nebenwinkel dieses Winkels.

Man kann jetzt leicht zeigen, daß die Scharen (K^) und (K^) ein Kurvennetz ohne Umwege bilden. Es bedeuten nämlich d'^ und d'^ die Winkel, welche von den einem wachsenden s^ und 83 entsprechenden Halbtangenten der Kurven {K^) und (K^) mit der positiven X-Achse gebildet werden. Nach der Wahl von s^ und s^ liegt somit für jede Kurve (Zj) und {K2) die Richtung fest, in der ihre Bogenlänge als wachsend angesehen wird. Wir wollen diese Richtungen in den Figuren 3 und 4 durch Pfeile kennzeichnen. In Fig. 3 mögen die Seiten P^P^ und P3P4 von Kurven (Z^), die Seiten PgPg und P1P4 von Kurven (Zg) gebildet werden. Wir punktieren die durch die Ecken des krummlinigen Vierrecks hindurchgehenden Kurven cp = const.