über die Berührungskugein eines Tetraeders. 347

2 . Es wird wohl manchem Leser angenehm sein, hier den Gehrkeschen Beweis des Satzes (A) zu finden, mit Ausdehnung auf die An- und Dachkugeln.

a ) lèh bezeichne mit 8^^ ^i^ beiden gleichen Winkel Ä^B^Ä^, Ä^B^Ä^] mit «23 die Winkel Ä^B^Ä^, A^B^A^^ usw. Aus den heiten

2л = £i2 + ^23 + ^31 == «12 + hà + 4l = «13 + «34 + «41 = «23 + «34 + «42

schließt man:

«23 + «31 "^ «34 + «41? «13 + «41 ^ «23 + «42?

addiert man letztere, so kommt f^g = s^^. Also hat man

( - * ■ ) «13 ~ «24? «12 "^ «34? «23 ^ «41 ?

was den Bangschen Satz beweist und ihm zugleich einen präziseren Ausdruck verleiht.

b ) Die Zentren der Ankugeln mögen Г, Г\ 1"', /(^^) und deren Berührungspunkte {B[, B'^, Бд, B'^, (B^', B'^,. .) ... heißen. Behalten die s^j^ dieselbe Bedeutung in bezug auf die Ankugel J^^^), so findet man die Beziehungen:

A% = 8^2 Л' «23 "b «31? «12 "^ «14 "1~ «24? «23 "^ «24 "T «34? «31 ~ «34 ~Ь «14 7

die drei letzteren geben durch Addition: e^^ + 634 + ^34 = ^; woraus fließt:

( 10 «12 +«34==^? «13 +«24 = ^? «23 + «14 = ^-

c ) Das Zentrum einer der drei Dachkugeln ist der gemeinsame Schnitt J der inneren Halbierungsebenen der Fläch en winkei A^A^, A^A^ und der äußeren Halbierungsebenen der übrigen Fläch en winkei; ich nenne J^, J^, Jg, J4 ihre Berührungspunkte und nehme an, daß J^ und J^ in die Winkel A^A^A^, A^A^A^, aber außerhalb der sprechenden Seitenflächen des Tetraeders fallen, während Jg und Jg in die äußeren Scheitelwinkel A^A^A^, A^A^A^ fallen. Dann gelten die Gleichheiten :

«23 "^ «12 + «13 ^ «42 + «43? «14 == «21 + «24 ^ «31 + «34?

und diese haben zur Folge die Relationen (1).

3 . Ein enger Zusammenhang der Sätze (A) und (A') ergibt sich aus folgenden Betrachtungen. Die Tangentialebenen y^, y^, y^, y^ in den Ecken von T^ an die ümkugel 0 bilden ein Tetraeder C^ C^C^G^ = T^, Die Gerade OC^ steht senkrecht zur Ebene cfg, im Mittelpunkte Og des Umkreises A^A^A^-^ die Gerade t^ ist lotrecht zu den Geraden OA^ O^A^ und folglich zu der in der Ebene OJ.4O3 liegenden Geraden ^403.

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