Ableitung einiger Kegelschnittsätze.

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Man kann insbesondere die

Punkte Pg und

P4 mit dem

Fig

Scheitelpunkt Ä der a;-Achse zusammenfallen lassen, dann hat der Kreis % = 0 mit dem Kegelschnitt x^^ = 0 im Scheitel Л vier unendlich nahe Punkte gemein; % = 0 ist also der Krümmungskreis im Scheitel Л und G sein Mittelpunkt. Läßt man auch noch P^ und P^ in

den Scheitelpunkt Б der ^-Achse zusammenrücken, so wird 9 = 0 zum Krümmungskreis im Scheitel jB und F sein Mittelpunkt. Zugleich wird 0 zum Schnittpunkt der Scheiteltangenten in Л und Б und liegt mit F und G auf einer Geraden (Fig. 9). Die Krümmungskreise in den teln Л und Б einer Ellipse bestimmen einen Kreisbüschel, dem der Schnittpunkt 0 der Scheiteltangenten als Nullkreis angehört. Nach Beispiel 3 liegen die Berührungspunkte der Tangenten, die man von 0 aus an die beiden Krümmungskreise legen kann, auf einer Senkrechten zur Geraden OGF, Das liefert gende Konstruktion.

Man erhält die MiUelpunkte der m den Scheiteln Л und Б einer Ellipse gehörigen Krüm- mungsbreise, indem man durch den SchnittpimM 0 der beiden Scheiteltangenten eine Senkrechte zu АБ zieht.

6 . Бeispiel, Es seien wieder Pi, P2, P3, P4 vier Punkte eines Kegelschnittes -ф^ху) = 0, ferner seien ^1 = 0, t^ = 0,

, л

\

. t,

\ - r - ) -

^

к

sA

p ,

Ä

/ v

f^\ .

? ^ /

^ \ X

К

у

rig 10

1^3 = О, ^4 = 0 die zugehörigen Tangenten und >г^ == 0, щ = 0,

^3 = 0, ^4 = О die zugehörigen

Normalen . Endlich nehmen wir wie vorher an, daß die Gerade