über die arithmetischen Eigenschaften der Zahlen. 489

und beschränkt nun die Variable auf den endlichen Bereich | iï? |p ^ ê, für welchen cp (x) konvergiert und \(p{oo)\ < 1 ist, so ist für alle diese Werte von x:

( 18a ) -f^ = 1 . i_ , = ~(1 - (p{x) + (p{xy-------),

denn unter der hier gemachten Voraussetzung konvergieren alle reihen (p(xy ebenso wie (p{x) selbst, die Summe 2(— 1У(р{хУ vergiert für jenen Bereich ebenfalls und zwar gleichmäßig, und die in

( 18 a) rechts stehende Reihe stellt die Funktion j-r mit jeder gegebenen Genauigkeit dar, denn die Differenz

wird ja für alle ] ^ |p ^ I beliebig klein, sobald nur n genügend groß angenommen wird. Hieraus folgt nach dem Satze (16 a), daß die rechte Seite von (18 a) unbedingt konvergiert, also auch nach Potenzen von X entwickelt und geordnet werden kann, und damit ist unsere hauptung bewiesen. Gleichzeitig ergibt sich auch, daß der Quotient

zweier konvergenter Potenzreihen ebenfalls in eine Potenzreihe mit lichem Konvergenzradius entwickelt werden kann, wenn ^(0) ^ 0 ist, während dieser Quotient noch eine endliche Anzahl negativer Potenzen von X enthält, falls g(x) an jener Stelle eine Nullstelle besitzt.

§7 .

Eine Größe x ist innerhalb eines gewissen Bereiches der Größe nach bzw. für den Bereich von p unbeschränkt veränderlich, wenn sie jeder Zahl dieses Bereiches in dem einen oder in dem anderen Sinne gleich werden kann. Ist Xq eine Zahl jenes Bereiches, so konstituieren alle diejenigen Zahlen x der Größe nach bzw. für den Bereich von p die Umgebung von Xqj für welche der absolute Betrag \x — Xq\ bzw. der absolute Betrag \oo — XqI^ für den Bereich von p in dem einen oder in dem anderen Sinne unterhalb einer genügend klein angenommenen Grenze â liegt. Eine variable Größe x kann der Größe nach bzw. für den Bereich von p unendlich kleine Werte annehmen, wenn ihr Bereich Zahlenreihen enthält, deren absolute Beträge der Größe nach bzw. für den Bereich von p beliebig klein werden. Enthält der Bereich von x

z . B. alle Potenzen (—l mit positiven ganzzahligen Exponenten, wo

Jahresbericht d. Deutschen Mathem.-Vereinigung. XVI. Heft 9/10 32