Zur Einführung der vierdimensionalen Welt Minkowskis. 7

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zurück . Diese erscheint als der gegebene Begriff von selbständiger deutung, jene nur als willkürliche Orientierungsmittel.

8 . Das bei uns als Eichkurve auftretende Hyperbelsystem ist natürlich der Schnitt des Minkowskischen Gebildes mit der xt-Man- nigfaltigkeit. Die Transformationen, die die einzelnen Systeme xt, x't\ .. . ineinander überführen, gehören daher zur Lоrentz-Gruppe G^. Diese aufzuschreiben wäre jetzt natürlich ein Leichtes.

9 . Hat man nun (Fig. 2) je einen im д;^-System und einen im a;'f-System ruhenden Stab von Längeneinheit OE^ und OE^', nebst ihren Weltbildstreifen, so hat der erste im ir'i^'-System zur Zeit f=0 gemessen die Länge OF', der zweite im rr^-System zur Zeit ^ == 0 gemessen die Länge OP, und es ist

OE^ : 0P= OE^'i or

die Verkürzung gemäß dem Lorentzschen Gesetz,

Natürlich gilt des auch für die Zeit: die wegte Uhr scheint gegen die ruhende in demselben L 0 r e n t z sehen hältnis langsamer zu gehen.

Da die strecken der X' und ^ Achse, ebenso die der x- und ^'-Achse konjugierte Halbmesser der beiden konjugierten Hyperbeln sind, so ergibt sich noch (s. Fig. 2) die Flächengleichheit OE^CE,^ OE^,C'E,, oder der Satz:

Gleiche Stäbe verbrauchen in gleichen Zeiten unabhängig von ihrer Geschwindigkeit gleiche Teile der zweidimensionalen Zeit-Längenwelt, wobei wir Teile dieser Welt durch die abbildenden Teile der Bildebene messen.

Aus jedem der beiden letzten Sätze folgt umgekehrt wieder die Eichung der gleichberechtigten Koordinatensysteme durch die gleiche seitigen Hyperbeln.

10 . Handelt es sich endlich um die i;^erdimensionale Raum-Zeitwelt„ so ist in den bisherigen Betrachtungen nur x^ durch Q^-^x^ + y^ + 0^ zu setzen, und aus unseren Hyperbeln entsteht das Minkowski sehe Gebilde

^2 _ ^2 __ ^2 __ ^2 _ X

Fig . 2.