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R . Mshmkb:

Bemerkungen zu dem Aufsatz des Herrn Neuberg.

Von R. Mehmke in Stuttgart.

Die anspruchslosen Sätze, die ich Herrn Neuberg mitgeteilt habe und die er im vorstehenden mit einigen Verallgemeinerungen bewiesen hat, waren als leichte Übungsbeispiele zu meinen Vorlesungen über Punktrechnung gedacht. Herr Gutzmer hat mir freundlichst gestattet, hier meine Herleitung bekannt zu geben, trotzdem es sich um recht elementare Dinge handelt. Ich verbinde damit Beweise der neuen Sätze des Herrn Neuberg.

1 . Man denke sich in jeder Seite eines einfachen räumlichen n-Ecks einen Stab von beliebiger Länge. Diese Stäbe, in fortlaufendem Sinn genommen, seien der Reihe nach mit /S\, Äg • • • ^n bezeichnet. Die fraglichen Sätze folgen dann alle aus der Identität

( 1 ) 8,-8, + S,-S,-i---. + S„-S, = 0.

Denn faßt man zuerst die Glieder von (1) folgendermaßen zusammen:

( 2 ) (S, - S,) + {S,-8,) + --- + (8„ - S,) = О,

und gibt man den Stäben S- allen dieselbe Länge, so stellen in chung (2) die Ausdrücke in den Klammern Stäbe in den inneren halbierenden des w-Ecks vor; wenn aber n Stäbe linear abhängig sind, so gehören ihre Linien im Fall n = 3 einem Strahlenbüschel an, im Fall n = А einer Regelschar, im Fall n = Ь einem Strahlennetz (einer linearen Kongruenz), im Fall i^ == 6 einem Strahlengewinde (linearen Komplex), es ergibt sich also für n == 3 der Satz über die inneren Winkelhalbierenden eines Dreiecks, und für n = 4, 5, 6 erhält man als Verallgemeinerungen dieses Satzes die fraglichen von mir gefundenen Sätze. Da mehr als 6 Geraden in unserem Raum stets linear abhängig sind, so haben die Fälle n > 6 keine Bedeutung mehr, außer man ginge zu Räumen von mehr als drei Dimensionen über, worauf wir hier zichten woUen.

Natürlich kann man sich bei der ganzen Herleitung auch der Sprache der Mechanik bedienen, da Stäbe addiert werden, indem man sie wie Kräfte zusammensetzt, und einer Reihe von Stäben, deren Summe Null ist, Kräfte entsprechen, die sich im Gleichgewicht befinden.

Durch andere Zusammenfassung der Glieder von (1) kann man erreichen, daß von den (n — 1) ersten Winkelhalbierenden beliebig viele äußere werden, statt innere, z. B. wenn n gerade ist, kann man schreiben:

( 3 ) ^s, + 8,)-iS, + S,)----{S„ + S0-^O,