Gelöste und ungelöste Probleme aus der Theorie der Primzahl Verteilung usw. 219

richtig ist. Die Konvergenzabszisse der Dirichl et sehen Reihe gibt uns also Aufschluß über das Anwachsen der summatorischen Funktion

M n=l

in Bezug auf Potenzen von x als Vergleich. Zum Beweise des zahlsatzes mußten allerdings feinere Vergleichsskalen hinzugenommen werden. Denn die bloße Tatsache, daß die Dirichl et sehe Reihe für

ihre Konvergenzabszisse ^ 1 hat (und mehr weiß man bis heute nicht über diese Zahl!) besagt nur, daß ф(х) — x == 0(x^) für jedes с > 1 ist, was trivial ist; man will aber

a ; = oo ^

beweisen .

Da ich einmal von der Analogie der Dirichletschen Reihen mit den Potenzreihen gesprochen habe, so möchte ich nicht unterlassen, auch zweier Unterschiede Erwähnung zu tun.

Erstens : Aus der Konvergenz einer Potenzreihe in einem Punkte folgt bekanntlich ihre absolute Konvergenz in jedem Punkte, welcher näher am Mittelpunkt liegt. Die Potenzreihe konvergiert also absolut im Innern ihres Konvergenzkreises. Bei Dirichletschen Reihen ist dies nicht der Fall; sondern es folgen — allgemein gesprochen — von links nach rechts drei Gebiete auf einander: Eine Halbebene der genz, ein Streifen bedingter Konvergenz, dessen Dicke übrigens höchstens 1 ist, und eine Halbebene absoluter Konvergenz. Beispiel:

2

n' 1' r "^ 3-"* ^' "^

divergiert für б < 0, konvergiert bedingt für 0 < б < 1, absolut für (Э > 1. Übrigens ist diese Funktion = (1 — 2^-^)S(s).

Zweiter Unterschied: Auf dem Konvergenzkreis einer Potenzreihe muß mindestens eine singulare Stelle der Funktion liegen. Bei schen Reihen braucht dies nicht einmal in beliebiger Nähe der vergenzgeraden* der Fall zu sein. Das soeben genannte Beispiel steUt sogar eine ganze Funktion dar.

Um nun von meinem Beweise des Primzahlsatzes einen haften Begriff zu geben, so will ich nur folgendes sagen: Wenn eine Dirichletsche Reihe

n = l