Die Greensche Funktion der Schwingungsgleichung. 341

und für X == 0

^o ( ^ ) = ^bga;, also ^^H^Qcr) = ^logr,

entsprechend der Bedingung (7 a) für eine Einheitsquelle in der Ebene. Andererseits hat man für große r die asymptotische Darstellung^):

setzt man dies in die Ausstrahlungsbedingung ein, so ergibt sich, wie es sein soll, für r = cx) (vgl. § 7 Schluß);

Wie man hiernach sieht, sind die Green sehen Funktionen des endlichen drei- oder zweidimensionalen unbegrenzten Feldes sehr leicht direkt herzustellen. Der Zweck der folgenden Rechnungen ist lediglich der, zu zeigen, daß dieselben Funktionen auch nach der Regel der stellung durch Eigenfanktionen erhalten werden, und zwar als gral auf einem komplexen Wege, dessen charakteristische Gestalt durch unsere Ausstrahlungsbedingung vorgeschrieben wird. Dieses Integral erscheint zunächst bei Benutzung von Polarkoordinaten als einfaches Integral (Gl. (33) bzw. (34)); dagegen bei Benutzung von rechtwinkligen Koordinaten als zweifaches Integral im zweidimensionalen, als dreifaches im dreidimensionalen Falle (Gl. (33 b) bzw. (34b)). Wir bestätigen also in diesen Beispielen die Verallgemeinerungsfähigkeit der im ersten Teile gegebenen Darstellung der Greenschen Funktion durch Eigenfunktionen auch bei unendlich ausgedehnten Gebieten.

a ) Der ebene Fall. Denken wir uns zunächst die Ebene durch einen um den Nullpunkt geschlagenen Kreis b^renzt, so sind die funktionen

wobei sich Ic^ als komplexer Wert mittels der für den begrenzenden Kreis anzusetzenden Ausstrahlungsbedingung aus einer Gleichung stimmt, die Jy J' und — ik enthält. Unter der Annahme, daß r = 0 der Quellpunkt sei, fallen bei der Summenbildung (6) wegen J„(0) ^ 0 für w>0 alle Summenglieder fort mit Ausnahme von JqÇc^t)* bei Vergrößerung des begrenzenden Kreises gehen die Wurzeln k^ in eine kontinuierliche Variable q über, und man erhält bei der erforderlichen

1 ) Wir werden später auch die allgemeinen Formeln nötig haben: