Wilhelm Blaschki: Mittelwertsätze der Potentialtheorie 167

iet , wie man leicht erkennt, dt der Kontigenzwinkel und daher der Koeffizient von dt in dem Ausdruck für dC^i

\ [ Ä ( 2 - Scos^O + J?(2 - 3 ^тН)]

gleich dem Krümmungshalbmesser. Die Spitzen ergeben sich also aus Gleichung

( 67 ) . tg^'^il^f-

Besitzt diese eine zwischen 0 und —ж liegende Wurzel t^, so sind im Bereiche von 0 bis 2ж noch die drei Wurzeln ж — t^, ж + t^^ 2ж'-- t^ vorhanden, und es gibt im ganzen vier Spitzen, Damit es eine solche Wurzel t^ gibt, muß В außerhalb des Bereiches zwischen \A und 2А liegen. Diese Bedingung ist immer erfüllt, falls die Fläche negatives Krummungsmaß besitzt; sie besteht aber auch bei positivem Krûm- mungsmaß, wenn, A als positiv angenommen, В entweder zwischen 0 und 2 А liegt oder größer als 2 А ist.

Die Figur auf S. 156 läßt erkennen, wie sich die Gestalt der Kurven Cq ändert, wenn man das Verhältnis В : А von — oo bis '\- oo gehen läßt. Man erhält zunächst gestreckte vierspitzige Sterne. Für 1? : Л = — 1, also für die 3Iinimalflächen, ergibt sich, wie eine einfache Rechnung zeigt, eine Astroide. Sie bildet den Übergang zu verlängerten spitzigen Sternen. Für В : А = 0 berührt der obere Zweig den unteren, und es entsteht die Kurve^ die als MaÜakrem bezeichnet wird^). Wenn В : А zwischen 0 und \ liegt, tritt der obere Zweig durch den unteren hindurch, und die Kurve bekommt zwei in der ж-Achse liegende pelpunkte. Für В : А = I verschwinden die Spitzen, die Kurve wird zunächst ein einfaches gestrecktes Rund. Füp В : A = 1 entsteht raus ein Kreis] die krumme Fläche ist dann eine Kugd. Wächst В : А weiter, so verlängert sich das Rund, und sobald der Wert 2 schritten wird, treten wieder vier Spitzen auf.

Mittelwertsätze der Potentialtheorie.

Von Wilhelm Blaschkk in Königsborg i. Pr.

Ähnlich wie man die Ableitung einer Funktion von einer änderlichen als Grenzwert des Differenzenquotienten herleitet, so kann man bekanntlich den Differenziator Л von Laplace angewendet aui eine Funktion f im Räume mit Grenzübergängen auf verschiedene Art

1 ) Vgl. die kürzlich in diesem Jahresbericht erschienene Abhandlung von W. Gaedecke, Über die Komoide nnd das Maltftkrenz, 26 (1^17), S. 46—49; man findet hier weitere Literaturangaben.