über die Hardy-Littlewoodschen Arbeiten zur additiven Zahlentheorie 181

in Evidenz zu setzen^ daß r{n) für passendes s die wahre Größenordnung

n hat; wir wußten ja nicht einmal, daß es überhaupt eine ordnung aus der Skala der Potenzen von n hat.

Wie machen nun Hardy und Littlewood all das? Sie benutzen die klassischen Eigenschaften der zu einem ganzen positiven N gehörigen Fare y reihe, d.h. der wachsend geordneten reduzierten Brüche von J bis ], deren Nenner £ N sind; z.B. iV == 4; {, \, \, \,\, \,\. Wird

zwischen zwei solche Nachbarbrüche ^^^ die soff. Mediante , , cre-

q^ q о 3 + 9! ^

lefft , so hat sie bekanntlich von einen Abstand > ^ ,r und < -—^. ^ ^ q =' '2q N ^ qN

Es werde n > 1 genommen^ jB == 1 — у N =[_n ^J; die mit 2 ж tiplizierten Medianten als Amplituden verwendet und so der weg in endlich viele Teilbogen zerlegt. Jeder dieser Bogen enthält also

innen genau ein Kq, wo q primitive Einheitswurzel des Grades q ^ N

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ist . Die Bogen mit q ^n^ heißen große, die mit q^ n^ kleine Bogen. Der Name kommt z.T. daher, daß wegen der oben gemachten Bemerkung über den Abstand der Mediante jeder große Bogen größer ist als die Hälfte jedes kleinen; über die kleinen und großen Bogen wird je ein Hilfssatz bewiesen. Roh ausgedrückt, folgenden Inhalts: Auf dem kleinen Bogen ist f(x) nicht zu groß; auf dem großen Bogen ist f(x) minus einem trivialen Hauptglied (einer klassischen fortsetzbaren Funktion) nicht zu groß. Der Beweis des Hilfssatzes über den großen Bogen ist auch heute noch sehr laug; der für den kleinen Bogen war nur wenige Seiten lang. Und doch war dies für Hardy und-Littlewood die schwierigkeit, die sie 2 Jahre lang aufgehalten hatte. Ihre Überwindung gelang ihnen erst dadurch, daß Weyl in seiner berühmten Arbeit über diophantische Approximationen eine fertige Ungleichung lieferte, aus der alles leicht folgt, und die man übrigens durch kleine Umstellungen der Weylschen Gedanken auf wenigen Zeilen beweisen kann. Da ich einmal Weyl erwähnt habe, will ich auch verraten, daß er in einer kürzlich der Göfctinger Gesellschaft der Wissenschaften vorgelegten Note die Behandlung des großen Bogens sehr vereinfacht hat, wenn man auf die Hardy-Littlewoodsche Schärfe verzichtet und sich mit einem größeren 8^{к) begnügt. In diesem Vortrag will ich aber den Weg skizzieren, der zu den schärfsten Ergebnissen führt; das ist der ursprüngliche Weg mit Vereinfachungen. Alsdann heißt der Hilfssatz über den kleinen Bogen: Es gibt zu jedem 5>0 ein Ä^Qc^ s) derart, daß

\f ( x ) \<Ä^n' V 2*-l)"

Jahresbericht d. Deutschen Mathem.-Vereinigung XXX. 1. Abt. Heft 9/12. 13