1x6 Lothar Kosohmieder:

4 . 3. Die Längen- und Winkelmessung in Bj^ setzen wir wie folgt fest : Wir verstehen unter der Maßzahl eines Vektors (|) in {x) lich {dx) die Zahl

( 13 ) ^'==giici4\

unter seiner Länge die positive Zahl Д. — Den zwischen о und л liegenden Winkel 9? zweier Vektoren (|), (rj) in {x) bezüglich {dx) klären wir durch die Formel

( 14 ) cosç> = ^^^;!l__,^^5)

mit positiven Quadratwurzeln. Senkrechte Lage zu [dx) in [x) be- zügUch {dx) bedeutet Transversalität zu {dx) in {x) hinsichtlich des Variationsproblems.

Unter dem Rauminhalte Я des von N Vektoren f^^), .. ., |^^^ in (л;) aufgespannten Spates in bezug auf {dx) verstehen wir den Ausdruck

( 15 ) П = I/F-+1F1 (|W, . . ., |(^)). 2«)

Demgemäß erklären wir als Rauminhalt eines Bereiches X^ in bezug auf ein Kurvenfeld x^ == 3£*(^ л) das über X^^ erstreckte Integral

( 16 ) К ^fyp^'-^^Ftdx^ .,.dx^ 27).

dabei sind für x im Integranden die Werte X zu setzen. Unsere Längen- und Winkelmessung kommen schon bei P. Finsler^«) in folgendem Zusammenhange 29) vor. Die Gleichung F{xo,x) = i zwischen den Koordinaten x stellt die Eichfläche des Punktes {xq) dar. Zu jedem Punkte {Xq + Xq) der Eichfläche gibt es eine Überfläche zweiten Grades mit dem Mittelpunkte {Xq), die die Eichfläche in {xq+ Xq) oskuliert; sie hat die Gleichung

glx^x^^i , wo g?* = 7-äFä^

25 ) übereinstimmend mit J. L. Synge^*) und J. H. Taylor ^^)*^), aber weichend von P. Fins 1er *''). — Der Winkelbegriff von G. Landsberg*)^) und der von G. A. Bliss (Trans. Amer. Math. Soc. 7 (1906), S. 184—196) sind von den vorstehenden und voneinander verschieden.

26 ) Vgl. {12). — Mittels der Klammem kurzen wir in gebräuchlicher Weise eine Determinante ab.

27 ) P. Funk und L. Berwald, Lotos (Prag) 67—68 (1919—20), S. 45—49. — Der dort für N = 2 auftretende Inhaltsbegriff weicht ab von demjenigen, welchen G. A. Bliss (Amer. Journ. of Math. 37 (1915)» S. i—18) gleichfalls für N = 2 geben hat.

2Ö ) P. Flnsler, Über Kurven und Flächen in allgemeinen Eäumen, Diss. Göttingen X918, S. 42.

29 ) Vgl. L. Berwald^*)4