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Aufgaben und Lösungen

z . B. a {aa) = {aa) a

a (ab) =: (aa) b.

Man gebe hierfür einen rein algebraischen Beweis. (Erzeugt man die Zahlen Z aus drei Parametern a, b, c, so folgt aus den Rechenregeln nicht das assoziative Gesetz.)

Frankfurt a. M. Ruth Moufang.

( Eingegangen am 8. lo. 1932.)

Lösungen . Lösung der Aufgabe 68. Die Aufgabe lautete:

Es seien a und b teilerfremde ganze Zahlen, und es sei о < | a | < | ô | ; dann hat die diophantische Gleichung

ax +by = z

mindestens eine und höchstens zwei Lösungen in ganzen Zahlen, für die

\x\<VW\ . \у\<УЩ. o<\z\<y\b\

und X und у teilerfremd sind (zwei Lösungen, die sich nur durch die zeichen unterscheiden, sollen nicht als verschieden gelten). Zeitz.

1 . Man wende den Minkowskischen Linearformensatz auf die beiden Formen x und z = ax +by der Determinante 5 an: es gibt mindestens ein Paar ganzer rationaler Zahlen atq , Уо > so daß Xq^ + yQ^> o, | л;о | ^ ]/161, l^ol =\ах^ + Ьу^\ <У\Ь\ und folglich auch |Уо1 < У\Ц wird. Jeden- ifalls existiert also mindestens eine Lösung der angegebenen Art; denn ein eventuell noch gemeinsamer Teiler von Xq und уо» der auch in ^0 aufgehen muß, kann fortgehoben werden; außerdem können hier die Fälle ^o = о

und I д;о1 =1/101 wegen (a,b) = 1, \b\> 1 und \zq\ < ]/| 6 | nicht treten.

2 . Man kann sich auf Lösungen mit a; ^ о beschränken. Es gibt höchstens eine Lösung mit x '^o, z> o. Denn bei zwei verschiedenen ^o» Уо> ^o und %, yi,^i dieser Art muß a(xQZi—XiZq) +&(Уо^1—Ух^о) =0» somit b\(xQZi — x^Zq) sein; das erfordert aber XqZ^— x^Zq = o, also auch У oh— Уг^о = о, und wegen -г^о» ^1 + o» о schließlich Хду^— д^^у^ = о, was bei (^0» Уо) = (%> Уг) = i "li^ ^^r Annahme, die beiden Lösungen seien verschieden, nicht verträglich ist. Analog gibt es auch höchstens eine Lösung mit д; ^ o, ^ < o. Die Höchstzahl der Lösungen ist also zwei.

Berlin . H. NoACK.

( Eingegangen am 22. 8.1931.)

Wird die Höchstzahl erreicht, dann hat die Determinante s = Xiy^— х^Ух der beiden Lösungen %, yi; %, у2 ^^^ Wert i. Weil jene verschieden und in sich teilerfremd sind, gilt jedenfalls s ^ o. Aus aXi+byi===Zi {i= 1,2) folgt

s . 6 = XiZ^ — X2Z1 ; 15 • ЬI ^ I X1Z21 +1 X2Z1 |<2«|ô|; |ä|<2.

Also ist I 51 = I, d. h. bei passender Reihenfolge der beiden Lösungen gilt s = I. H. NoACK.

( Eingegangen am 14. 9. 1932.)