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tiâth Satz 4 keine Tangentialebene vorhanden sein, und es können niemals zwei Kurven zusanunenfallen, weil gi und g^ windschief sind. Folglich ist nach dem Satz von Schaaf jede geradlinige eigentliche F2 infinitesimal verbiegbar.

Weiter ergibt sich aus dem Satz 3 die Folgerung, daß es bei einer nichtgeradlinigen Fg im allgemeinen unmöglich ist, mit Hilfe zweier eigentlicher reziproker Polaren ein singularitätenfreies, ebenes, jugiertes System zu konstruieren. Um für diese Flächen die Verbieg- barkeit nachzuweisen, muß man sich also zweier reziproker Polaren bedienen, von denen mindestens eine uneigentlich ist ; die eigentliche Polare darf die Fg nicht schneiden. Von diesem Gesichtspunkt aus werden nun die beiden Typen der nichtgeradlinigen F2 untersucht.

Zweischaliges Hyperboloid. Die Durchmesser und nur diese haben die Eigenschaft, daß ihre reziproken Polaren uneigentliche Geraden sind. Alle Durchmesser, die außerhalb des Asymptotenkegels verlaufen, schneiden die Fläche nicht. Jeder dieser Durchmesser bestimmt mit seiner uneigentlichen Polaren ein singularitätenfreies, ebenes, jugiertes System: denn ist g ein solcher Durchmesser und h seine eigentliche reziproke Polare, so gibt es nach Satz 4 in dem büschel g zwar zwei Tangentialebenen, die aber das Hyperboloid in den beiden uneigentUchen Schnittpunkten der Fg mit h berühren, deren Singularität nicht stört. Die Ebenen des Büschels h sind einander parallel, eine Tangentialebene ist nicht vorhanden, weil die reziproke Polare g von h die Fg nicht schneidet. Es können niemals zwei Kurven zusammenfallen, weil g und h windschief sind. Jedes zweischalige Hyperboloid ist also infinitesimal verbiegbar. Die ptoten bilden die Grenze zwischen den zur Konstruktion des Systems zulässigen Durchmessern und den nichtzulässigen. Die Asymptoten selbst sind noch zulässig, ihre uneigentliche Polare ist die uneigentUche Gerade der den Asymptotenkegel längs der Asymptote berührenden Ebene.

Beim zweischaligen Hyperboloid kann man aber auch noch laritätenfreie, ebene, konjugierte Systeme konstruieren, deren Träger beide eigentlich sind. Sei nämlich T eine Tangentialebene des ptotenkegels längs der Asymptote й, dann ist T Tangentialebene des H5фerboloides im uneigentlichen Punkte U von h. Alle Parallelen zu Ä in Г sind also Flächentangenten in U. Folglich müssen sich diese Parallelen in Paare reziproker Polaren ordnen lassen. Ein solches Paar sei (gi, gg)- Der einzige Punkt, den gi und gg mit dem Hyperboloid gemeinsam haben, ist der Punkt U, Dies wird ein singulärer Punkt,