über eine Eigenschaft der Scheitelschmiegkreise von Eilinien

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Wie wir sofort zeigen werden, darf in unserem Falle aus dem schwinden von и nicht auf einen Extremwert von D geschlossen werden. Neben U = о gilt nämlich für den Punkt T auch f/' = o. Das gleichzeitige Verschwinden von U und U' hat aber, wegen (13), auch D" = о zur Folge. Aus r' Ф о folgt aber, wegen (14), auch D'" Ф o, sofern für Г [/" 4= о vorausgesetzt wird. In diesem Falle ergibt sich also in T kein Extremwert für D. Fällt aber ein Scheitel von S mit T zusammen, dann ist, wegen r' = o, auch Z)'" = o, und wir haben nun zur Entscheidung die vierte Ableitung von D

( 15 ) Div = — 2 (fiv и + 3/" U' + sr'U" + Y' U'")

heranzuziehen . Aus U" ф о und r" ^ о folgt nun aber D^^ 4= o, halb also der Schmiegkreis von (£ in T einen Extremwert für D liefert. Da in T offenbar U" > о gilt, so sind daher, wegen (15), die werte für D und r für den Scheitelschmiegkreis von 6 in Г artig. Es gilt also der Satz i auch für den F all у daß der Kreis p die Eilinie ® berührt.

Da wir unsere Überlegungen für alle Kreise, deren Radien der gleichung (6) genügen, durchgeführt haben und fmm jedenfalls > о ist, so gelten daher unsere Ergebnisse auch für die als Nullkreise (^ = o) aufzufassenden Punkte P von я. Das Quadrat D der Tangential- entfernung kann hier gedeutet werden als Potenz des Punktes P bezüglich der Schmiegkreise von ®.

Die Reihe der Sonderfälle der vorliegenden Fragestellung vergrößert sich beträchtlich, wenn auch solche Kreise p zugelassen werden, deren Radien der Ungleichung (6) nicht genügen. Wir sehen von der zählung dieser Sonderfälle ab und bemerken, daß die gleiche stellung auch für beliebige Kurven, also auch solche, die nicht EiUnien sind, durchgeführt werden kann. Auch dieser Fall soll aber von der Besprechung ausgeschlossen bleiben, da über die reellen Nullstellen der Funktion U{(p) (4), auf die es, wegen (12), vornehmlich ankommt, wenig allgemein gültige Aussagen gemacht werden können.

Wir verwenden im folgenden die zyklographiscke Abbildung^) zu einer Versinnlichung unserer Fragestellung im dreidimensionalen Räume. Vermöge der zyklographischen Abbüdung entspricht jedem Kreis piLv* q) von 7t im Räume ein Punkt P (I, ^, С == ö)- Das drat D der Tangentialentfernung zweier Kreise p und pi von л stimmt

2 ) Bezüglich der zyklographischen Abbildung und der daraus folgenden Begriffs- bildnngen c-Gerade, c-Ebene, с-Abstand usf., die im folgenden benötigt werden, gleiche man: E.Müller-J. L. Krames, Vorles. über darst. Geom., 11.Bd. DieZy- Idographie. Leipzig u. Wien 1929.