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Gottfried Köthe:

e ) Es gilt Л = Zl**.

Л ist nach (i) Untergruppe von Zl**. z sei ein beliebiger Charakter von A*, Л' sei die durch Л und z erzeugte Untergruppe von J**. Aus Л ^ Л' folgt, daß Л* eine Untergruppe von (J')* ist, denn jeder Charakter von Л läßt sich nach dem Verfahren von a) eindeutig auf Л' erweitern, so daß die erweiterten Charaktere ebenfalls eine Gruppe bilden. Da jedes Element Ф о aus Л' als Charakter von zl* auf wenigstens einem |ezd* von Null, verschieden ist, ist nach dem Hilfssatz (zl')*=zl*.

Wir haben Л' = Л zu zeigen. Wäre aber Л' echte Obergruppe von Л, so gäbe es nach dem Verfahren von a) einen Charakter yj von Л\ der auf Zf, aber nicht auf A' verschwindet im Widerspruch zu (J')* = zl*.

§4 -

Zu jeder diskreten Ab eischen Gruppe А gibt es also eine duale kompakte Gruppe 7^= zJ*, und alle bikompakten Gruppen entstehen so. Da man über diskrete Abelsche Gruppen einiges weiß, ist es von Interesse festzustellen, wie sich die Eigenschaften von А in schaften von A* übersetzen.

Eine explizite Konstruktion von zl* wird in [4] angegeben. Jede diskrete Gruppe А läßt sich als Differenzengruppe einer freien sehen Gruppe Ф nach einer Untergruppe jFf auffassen. Man verschaffe sich zu diesem Zweck ein Erzeugendensystem { x^ ] von А und bilde alle Relationen

m

( 3 ) 2 ^i ^H = ^

zwischen den Basiselementen x^. Ist Ф die aus den den Xa eineindeutig zugeordneten Symbolen x^^ gebildete freie A bei sehe Gruppe, so

m

wird A isomorph Ф —iJ, H die Gruppe aller ^n< 5^^ aus den Be- Ziehungen (3).

Ф ist offenbar die direkte Summe von Gruppen Z«, die isomorph zu Z sind, Ф* wird daher die direkte Summe der if„ = Z* vom Typus K. Dabei ist zu beachten, daß die direkte Summe von unendlich vielen Z^ aus allen Elementen л^а^Ч- • • •+^a^, х^^^щу also nur endlichen Summen besteht, dagegen Ф* alle, auch die unendlichen, Summen ^=^2^«* Sa^Ka, enthält. Ф* wird als Torusgrupfe bezeichnet. Eine

а

Umgebung von | =(...,£«,...), leeÄ", in Ф* wird von allen rj bildet, von denen n Komponenten t?«^,. . ., rja^ in vorgegebenen gebungen von loi,..., 1«^ in К liegen.