^2 Vorträge, die auf der Tagung in Köln 1949 gehalten wurden

Dienstag , den 20. 9., 15 Uhr, Abt. A, Vorsitz: Maruhn.

E . Sperner, Bonn, Vom Rechnen mit Ordnungsfunktionen.

Die Ordnungsfunktionen dienen der kalkülmäßigen Behandlung trischer Anordnungsfragen. Für das Rechnen mit den Ordnungsfunktionen wurden einige Grundsätze dargelegt und an Beispielen im Zusammenhang mit axiomatischen Fragen erörtert.

Frank Löbell, München, Einige Begriffsbildungen der Theorie der Flächenabbildungen .*)

Im dreidimensionalen euklidischen Raum seien zwei, von freien w-t;-Netzen überdeckte Flächenstücke ^ und t) gegeben.

Wir betrachten die Abbildung, die Flächenpunkte mit gleichen natenpaaren [u, v) einander zuordnet: %[u, v) -^ \) [u,v).

1 . Die bekannten, für die Abbildung maßgebenden Größen und Gebilde, die invariant gegenüber Verbiegungen der Flächen sind — wie die stäbe w, speziell die Hauptmaßstäbe—, bzw. biegungskovariant mit den Flächen verbunden sind — wie die Hauptrichtungen —, werden ergänzt durch das ,,Verzerrungsmaß", dessen Verschwinden die Winkeltreue zeichnet. Die sich in der Betrachtung der hiermit zusammenhängenden Eigenschaften erschöpfende Auffassungsweise, die der Kartenentwurfslehre eigentümlich ist, ist an den Namen Tissot geknüpft.

2 . Die relative Lage entsprechender Linienelemente di^-^ d\) wird kommen zum Ausdruck gebracht durch die Darstellung

dt ) =nd% + qdf^ + y dsn; (i)

hier ist n einer der Einheitsvektoren der Normalen J^X ^^ von je, ^^* = n X ^^ und s die Bogenlänge einer d-jc berührenden Kurve auf j. Wir nennen

n = d%dt}: d-jc^ den Rißmaßstab, (2)

q =znd^dt): d"^ den Querrißmaßstab, (3)

y =^XidS)\ds den Normalrißmaßstab (4)

der Abbildung für die Richtung d%.

Neben d%^ = ds^ und d\f = m^ds^ tritt hiemach u.a. als fundamentale quadratische Differentialform

dl dt) = nds^ = Edu^ + 2 Fdu dv + Gdv^, (5)

deren Koeffizienten die,, gemischten Fundamentalgrößen" i.O. des paares Î 4± Ц sind. Mit einem Sonderfall dieser Form hat man es in der Kummer sehen Theorie der Strahlensysteme zu tun.

Aus dem angegebenen Ausdruck für n folgt, daß es in jedem Funkt von ^ mindestens ein Paar reeller, zueinander senkrechter ,, tungen" gibt, deren Rißmaßstäbe extreme Werte % und n^ unter allen an dieser Stelle geltenden Werten n annehmen, die ,,Hauptrißmaßstäbe". n unterliegt einem ähnlichen ,,Verteilungsgesetz" wie п^\

n =ni cos^ x + ^2 sin^ X ' (6)

ferner gilt q ^(щ — щ) cos ;^ sin ;^ — | / ; (7)

* ) Das Folgende ist im wesentlichen ein gedrängter Bericht über Arbeiten des Verfassers, die erschienen sind in den Nachrichten aus dem Reichsvermessungsdienst

1942 , der Math. Zeitschr. 1943, den Math. Ann. 1947, den Sitzber. d. Ваут. Ak. d. Wiss.

1943 , 1944. 1945/46, 1947, 1948, dem Arch. d. Math. 1948, 1949.