l6 Auszüge aus den auf der Tagung in Berlin gehaltenen Vorträgen

Lemma^ ) . Für jede natürliche Zahl s, kann man eine endliche menge b finden, deren Verbindung b* o:b^ = o:b*^; ^ = i, 2, ..., s, s + i; gibt.

Es sei s die kleinste natürliche Zahl, so daß b^ = 6^+^-Bestimmen wir b* nach dem Lemma; das Element b* is nilpotent; es sei Я die kleinste liche Zahl, so daß b*^= 0. Ich beweise leicht А < s + i und b^+^ = o. Der Satz ist bewiesen, mit Д = s—i oder 2. = s.

Eine unmittelbare Anwendung des Satzes I führt zum Begriff von dikal : die Verbindung r aller nilpotenten Elemente ist das größte nilpotentes Element von T; man nennt es den Radikal von T; es ist ein zweiseitiges Element.

30 ) Der Radikal eines zweiseitigen Elements. — Es sei h irgend ein seitiges Element von T, Die Relation xRy, durch xUh = yUh definiert, ist eine reguläre Äquivalenzrelation, in Hinsicht auf die Multiplikation und die Verbindung. Die Quotientenmenge T/R ist also ein Multiplikatiwerband Гд, dessen 0 die Klasse Я von h und U die Klasse von и ist. Гд ist ständig wie T, und in Гд ist also die Minimalbedingung. Wenn man den Radikal R von T^ betrachtet, hat man in T folgenden Erfolg:

Satz II. — Wenn h ein zweiseitiges Element des Multiplikativverbands von Artin ist, da ist die Verbindung aller Elemente x, so daß x*^ ^h für eine türliche Zahl n [x) zweiseitiges Element r^. Es gibt eine natürliche Zahl m, so daß Гд < h. Das Element r^ wird der Radikal von h genannt.

E . Ullrich-Gießen, Über stark transzendente Zahlen.

Man kennt drei große Klassen S, T, U von transzendenten Zahlen; Mahler (Grelle 166, 1932) und Koksma (Monatshefte 48, 1938) haben sie auf schiedenen Wegen, im Erfolge aber umfangsgleich, aus den eigenschaften von transzendenten Zahlen herausgeschält. Die klassische Theorie von Hermite bis auf Siegel, angewandt auf gewisse ganze (und wandte) transzendente Funktionen, deren Struktur durch lineare rentialgleichungen 2. Ordnung bestimmt wird, läßt sich dahin präzisieren, daß der Wertvorrat solcher Funktionen über dem Körper der algebraischen Zahlen zu den Klassen S, und vielleicht T, gehört. — Liouvilles erste struktion transzendenter Zahlen (1851) dagegen erlaubt es bei genauerem Zusehen, eine Klasse nicht fortsetzbarer Potenzreihen (zum Einheitskreis) herauszuheben, deren Wert Vorrat an das andre Ende der Mahler- maschen Klassifikation führt, nämlich zu tZ-Zahlen, denen die Klasse A der algebraischen Zahlen in gewissem Sinne hinzuzufügen ist. Die Klasse U spaltet auf in abzählbar viele Klassen Ug (g = 1,2, ..,), worunter 11^ die Liouvillezahlen ausmacht. Umfaßt A g alle alg. Zahlen vom Grade g, so werden Ug-Zahlen aus A g heraus von jeder Ordnung approximierbar.

Unsre Potenzreihenklasse sei nun gekennzeichnet durch ganzrationale Koeffizienten, und durch die Lückenbedingung lim ^^+1-^^ = оэ. Wir wenden nur I 2:1 < I. Dann ergibt sich folgende Wertvorratsaussage: Gehört z einem algebraischen Zahlkörper Kg vom Grade g an, so wird w{z) entweder eine transzendente Zahl aus Ug, oder einem U^ mit d/g — oder eine alge-

* ) Der Beweis wird in einem Buch erscheinen, von M. L. Dubreil-Jacotin, L. Lesieur und R. Croisot (Cahiers Scientifiques publiés sous la direction de M. G. Julia, Paris).