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Aufgaben und Lösungen

л^о + Уо = I ausgewählt. Dann gibt es in G genau ein System stetiger Lösungen X ^ x{u, v), y = y(«, v) der Gleichungen (i) mit

Tübingen . Kamke.

Aufgabe 372. Ohne Aufspaltung in Unterfälle (Zylinder, Kegel usw.) soll gezeigt werden, daß sich jede Torse

X (s, t)=X) (s) + ^3 (s), (Si < 5 < 52, ti {S)<t< t^(s))

mit stetig differenzierbaren Funktionen x)(s), 3(5) und mit nur regulären Punkten isometrisch auf ein Ebenenstück abbilden läßt. Die Torsen- bedingung lautet (t), 3, 3) = o. Es kann f = 1 angenommen werden und außerdem, wie man leicht sieht, noch t)3 = o. Tübingen. Kamke.

Lösungen .

Lösung der Aufgabe 361.

1 . Lösung. W. Sierpinski, Un théorème sur les puissances des ensembles. Fund. Math. 34 (1946), S. 72-74.

2 . Lösung. Satz i: Wenn D, A, В Mengen sind, für die DCA und K(D) ^K(B)S K[A) gilt, dann gibt es eine Menge M, für welche K[M) = iC(B)undZ)CM СЛ gut.

Es gibt nach Voraussetzung eine Untermenge С von Л, für welche C^B gilt, (i) wird also bewiesen sein, wenn der folgende Satz bewiesen ist :

Satz 2: Wenn D Q A, С С A, und K(D) ^ K{C) ist, dann gibt es eine mit С gleichmächtige Menge M, für welche D С M С А gilt.

Beweis : Wir definieren rekursiv die folgenden Mengen:

Aq = Л, -4i = C, also Aq ) A^. (*) Gi - D(Ai — Ai+j) für z = o, I, 2,... Ai+:^==Ai — f(Gi_j) für i = 1,2,3,...

Dabei bedeutet f(x) eine laut Voraussetzung existierende eineindeutige Abbildung von D auf eine Teilmenge /(D) von С Es gilt

( * * ) ^0)^1)^2)... und GiGj = Л für i + /.

Mit der Bezeichnung

00 P = Л1 - /(Go) - f(Gd -f{G,)-... = UA, ist

At = /{Q + /(Gl) + /(G,) + ... + P. Wir setzen M = Go + Gl + Gj + ... + P.

Dann ist f(Gi)f{Gj) = Л wegen (**) und der Eineindeutigkeit von /. Femer ist ersichtlich f[Gi)P = Л für alle i. Aber auch GiP = Л wegen (♦).

Damit ist A^^M. Femer ist wegen (*) DAi = Gi + DAi^.^, also Z) = G, + Gl + Gj 4-. . . + G, + DA,+i = Go + Gi + Gg + . . . + Z)P С M. womit alles bewiesen ist.