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Walter Benz:

rührbüschels , so gibt es (mindestens) eine Fährte cp mit ç? ) Ä ^ a^, i = I, 2, 3.

Eine Möbiusebene im engeren Sinn ist genau dann zusätzlich (F)-Ebene, wenn gilt: Berührt ein Kreis einzeln drei verschiedene Kreise eines Berührbüschels, so gehört er zu diesem Berührbüschel.

Es gibt Möbiusebenen, die nicht zusätzlich (F)-Ebenen sind ([6], Satz 5). - Es gibt (F)-Ebenen, die nicht Möbiusebenen im engeren Sinn sind ([5], §3).

3 . 5 . Es sei Z eine Möbiusebene. Wir wollen sagen, E gestatte eine Orthogonalitätsrelation, wenn auf E eine Orthogonalitätsbeziehung d А-Ъ {^1) existiert mit den Eigenschaften

( O I) Aus а Lb folgt Ъ A_ a,

( O II) Ist а A-b, so schneiden sich а und Ъ in einer Fährte ^^).

( O III) Zu Pek, Ç Ф P gibt es genau einen Kreis k' эР, Q mit

Es sei E eine Möbiusebene, die eine Orthogonalitätsrelation ,,_L*' gestattet. Dann gilt ([5])

( i ) Ist а ein Kreis, ist 9? eine Fährte mit a^ç? Ф 0, so gibt es durch cp genau einen Kreis b mit a±b. (2) Ist & ± a und cr^b = {P} с ^^, so gilt с± a.

Zwei Orthogonalitätsrelationen ±1, ±2 auf einer (M)-Ebene 2* heißen gleich, wenn die zugehörigen zweistelligen Relationen (auf der Menge der Kreise von E) gleich sind, d. h., wenn aus а ±ib stets а ±2^ folgt und umgekehrt.

3 . 6 . Die Bedeutung des Begriffs der (F)-Ebene beruht auf dem genden

Satz ([5]): Eine (F)-Ebene gestattet höchstens eine relation^^).

Anmerkung zu 3 6. Es gibt (F)-Ebenen, die keine Orthogonalitätsrelation gestatten, z. В die Minimalebene, bestehend aus fünf Punkten und zehn Kreisen. - Es gibt Möbiusebenen, die unendlich viele verschiedene Orthogonahtatsrelationen gestatten

( [ 6 ] ) .

36 ) Fur den Fall, daß £ [M]-Ebene ist, gewinnt (OII) die Form : Ist я JL b, so den sich а und b m genau zwei verschiedenen Punkten.

37 ) Diese Orthogonahtatseigenschaft wird m axiomatischen Untersuchungen zur Möbiusgeometne von W. Süss benutzt ([34], S 236) Eine wichtige Rolle spielt sie m axiomatischen Untersuchungen von G. Ewald ([14], S 357)

38 ) Em solcher Satz hat kein Analogon m der Theorie der affinen Ebenen (s. Baer [2]). Die Eindeutigkeit der Orthogonahtatsrelation ist selbst dann dort em fall, wenn man die Orthogonahtatsrelationen, die durch eine affine KoUmeation einander hervorgehen, als nicht wesenthch verschieden ansieht.