Eine Studie гит Begriff der Teilfolge

I . g» > /3t und gB 2 fA ; ^. /-^g93 > 2t wnrf f-^gB =- Л ;

3 . es gibt eine {mehr-, nicht notwendig eindeutige) Abbildung <p von А in В derart, daß f ^ gq> und С)^Щ > ?t.

Wobei noch zu bemerken ist, daß im FaUe Aq = А aus der Inklusion / 2 g9? ja die Gleichung f^fo^gtp wird (umgekehrt zieht f =^ g(p auch А ^ f^E ^ (p^^gr^E = c?-iß = Ло, ç> Abbildung von, nach sich).

Was nun die Eindeutigkeit der Indextransformationen tp anlangt, so bemerken wir, daß sie (wegen g-^/ з ç?) automatisch erzwungen wird, falls — recht speziell -— die Funktion g eineindeutig ist^). Allgemein wird es jedoch zu einer wirklichen Verengung der „Teilfolge"-Beziehung führen, wenn wir nur eindeutige Indextransformationen zulassen. zu folgendes

Beispiel : Sei Л = J? = iV die Menge der natürlichen Zahlen, sei / die identische Selbstabbildung von N.SeiB = N x N und g der zu diesem cartesischen Produkt gehörige erste Projektionsoperator, g{i,k) = i für alle Paare {i, k) eN x N; es ist dies eine Abbildung vonÄauf^. Sei S der charakteristische Filter über B, der Filter der Komplemente der endlichen Teilmengen von B^^), Dann ist gSB = {^} der gröbste Filter über A ; indem wir diesen gleich 31 setzen, haben wir g© = /21, erst recht gSB > /3t. Eine beliebige Indextransformation tp aus A in В mit f ^ g(p und (р'-Щ > 3t (und es gibt eine solche, z. B. ç) = g-^/ = g-^) hat nun die Eigenschaft, an jeder Stelle aeA „unendlich vieldeutig" zu sein: q)a ist stets unendlich (insbesondere nichtleer, 9? also eine bildung von i4). In der Tat : angenommen, für ein a^^A wäre (pa^ lich, dann wäre B' = B— (pa^ eSB und damit, wegen (р-Щ > 21 = {-4}, cj-iß' == A, also ^0G9?-iß', d. h. es existierte ein Ъ^еВ' - ß— (pa^, d. h. Jp $ 9?^o, mit a^ e <р-^Ч^, d. h. Jq ^ 9^^o> ^^s ^ sich ein Wider* Spruch ist.

5 . Die Teilfolge-Begriffe von Frécbet und Tukey« In speziellen „Folgen"-Theorien ist man nun häufig über die Beschränkung auf eindeutige Indextransformationen von noch weit hinausgegangen. So hat man ja bei Beschränkung auf klassische (Fréchetsche) Folgen (Л = J5 = iV = Menge der natürlichen Zahlen, gerichtet durch deren natürliche Größenanordnung ^, mithin 2t = 95 = С == Frechet-Fil- ter«') = charakteristischer Filter über der Menge N) als Indextrans-

35 ) Ist (wie in folgendem Beispiel) / eineindeuüg, so ist (wegen /-^ 2 qr^)q> mehrdeutig, d. h. die Umkehrung qr^ eindeutig.

36 ) J. Schmidt [i, p. 3670.].

37 ) Bourbaki [9, p. 23].