Kriterien für die Endlichkeit von Gruppen

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Beweis : Wir nehmen zunächst an, daß alle Untergruppen von G endhche Automorphismengruppen besitzen. Dann ist insbesondere die Gruppe der inneren Automorphismen von G endlich ; und dies ist kanntlich gleichwertig mit der Endlichkeit von Gj!^ G, Ist T die sionsuntergruppe der abelschen Gruppe !^G, so ist auch die Auto- morphismengruppe von T endlich; und wir können aus Satz D die Endlichkeit von T folgern. Daraus folgt, daß T ein direkter Faktor von 3^ i^t; siehe etwa Kaplansky [p. 18, Theorem 8]. Ist etwa 3G = Г ® Z), so genügt es zu zeigen, daß D zyklisch ist. Denn [G:D] = [G :3G][3G:D]^[G:SG]o (Г) ist endlich als Produkt licher Zahlen. Enthält D zwei unabhängige Elemente, so enthält D auch eine freie abelsche Gruppe des Ranges 2, deren Automorphismengruppe bekanntlich unendlich ist. Also ist Z) = i oder eine torsionsfreie Gruppe des Ranges i. Ist ^ф i ein Element aus D, so ist {^} als Untergruppe des Zentrums ein Normalteiler von G. Da G/D bereits als endlich wiesen ist, und da D eine torsionsfreie Gruppe des Ranges i ist, [wenn es ein rf Ф i in D gibt], so ist Dl{d} und also Gl{d} eine Torsionsgruppe. Als Torsionsgruppe mit endlicher Automorphismengruppe ist aber Gl{d} nach Satz D endlich; und im Falle D = i ist sogar G selbst lich. In beiden Fällen gibt es also eine zyklische Gruppe von endlichem Index in G, die in 3^ enthalten ist.

Besitzt umgekehrt G eine zyklische Untergruppe von endlichem Index, die in 3 G liegt, so gilt dasselbe von jeder Faktorgruppe F einer Untergruppe von G. Ist L eine zyklische Untergruppe von F mit lichem Index in jF, die in 3-P enthalten ist, so ist F sicherlich endlich erzeugbar. Also ist der Durchschnitt D aller Untergruppen X mit [F:X]= [F'.L] eine charakteristische Untergruppe von endlichem Index; siehe Baer [7; p. 331, Lemma 4]. Da D sicherlich in L halten ist, so ist D ebenfalls eine zyklische Untergruppe von F, Ist D endlich, so ist auch F und die Automorphismengruppe von jF endlich. Ist D unendlich, so bilden wir die Gruppe Ф aller Automorphismen von F. DaD charakteristisch ist, so induziert jeder Automorphismus von F einen Automorphismus von D und einen von F/D, Da D und FjD beide nur endlich viele Automorphismen gestatten, so hat der malteiler & der Automorphismen von F, die sowohl in D wie auch in FjD die Identität induzieren, endUchen Index in Ф. Nun ist kanntlich diese Stabilitätsgruppe 0 von F über D der Gruppe aller Homomorphismen von F/D in D isomorph, wie man auch leicht rechnen kann, indem man a aus 0 auf i — a abbildet. Da aber 0 der einzige Homomorphismus von FjD in D ist, so ist 0 = i und also Ф endlich.

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