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Rolf Reissig:
sei betont, daß der Einsatz der Ljapunowschen Methoden in den Anwendungen eine dringende Aufgabe der Angewandten Mathematik ist; hingegen scheint der Ausbau der Theorie im wesentlichen schlossen zu sein.
Im autonomen Fall, insbesondere für n = 2, wird man versuchen, aus dem Phasenbild auf die Stabilität der durch die Phasenbahnen dargestellten Lösungen zu schließen. Existiert z. B. in der ebene ein einzelner Zyklus (Grenzzyklus), auf den sich von innen und außen die Nachbarbahnen spiralenförmig aufwickeln, so liegt es nahe, die dem Zyklus entsprechende Schwingung als asymptotisch stabil zu bezeichnen. Dabei handelt es sich in der Regel jedoch nur um die genannte orbitale StabiHtät und nicht um synchrone Stabilität ( tät im Sinne von Ljapunow), bei der man in jedem Augenblick die zugehörigen Bewegungsphasen miteinander vergleicht. Zwei im senbild benachbarte Bahnen können durchaus instabil (im Sinne von Ljapunow) sein, da ja die nahe beieinander liegenden Bahnpunkte verschiedenen Zeiten entsprechen können. Indessen hat Ljapunow bei seiner ursprünglichen Stabilitätsdefinition [8] auch an diese (in der Astronomie häufig auftretenden) Fälle gedacht, indem er nicht fach von Stabilität hinsichtlich der Koordinaten sprach, sondern gemeiner von Stabilität bezüglich gewisser Eigenschaften der gen; darunter kann man etwa die geometrischen Daten der bahnen verstehen.
Im periodischen Sonderfall (5) hat La Salle eine interessante Stabilitätstheorie auf topologischer Grundlage, der wir uns noch kurz widmen wollen, aufgebaut [6]. Wie schon erwähnt wurde, betrifft sie nicht die kontinuierlichen Bewegungen 2: (^), sondern die diskreten Punktfolgen M (Po) = {P^yP-^yP^, . . )y wobei P^ der Ausgangspunkt der Bewegung z {t) zur festen Zeit t^ und Pj^ der Punkt im Moment ^0+ ke ist.
Zwei Folgen M (Pq) und M {Q^ (die man ebenfalls Bewegungen nennt) sind zueinander asymptotisch und ihre Ausgangspunkte Pq , Qq asymptotisch äquivalent, wenn
( 27 ) lim d{Pi, Qi) = o.
Dann stimmen die Mengen ihrer Häufungspunkte M' (P^) und M' (Qq) überein. Eine nicht leere, offene Menge U des Phasenraumes R^ heißt kontraktiv, wenn ihre Punkte paarweise asymptotisch äquivalent sind. Das Bild von U unter T ist auch kontraktiv. Läßt U keine rung mehr zu, so hat man eine maximale kontraktive Menge, Sei Uq eine solche und Uf^ ihr Bild unter T^; dann ist U^ ebenfalls maximal, und