Unabhängigkeitsbeweise in Mengenlehre und Stufenlogik der Modelle 145

^ - zulässig , wenn aus „3-Gültigem'' durch К nur „3-Gültiges" zeugbar ist; M'Zulässig, wenn dies für alle ^еМ gilt.

2 . 2 . Die WFR eines ^-zulässigen Kalküls üC ist trivial, wenn die Existenz von 3 vorausgesetzt werden darf. So die WFR eines küls •) K^^ der „reinen Zahlentheorie" (der natürlichen Zahlen) oder eines Kalküls^®) K^^ für die „klassische Analysis", wenn es die türlichen Zahlen (genauer: die Interpretation 5R mit den natürlichen Zahlen als Objektbereich und den bekannten Operationen als tungen der Zeichen +, x) gibt bzw. die Interpretation 91*, die aus 91 durch Hinzunahme der Mengenbereiche und mengentheoretischen Operationen entsteht, auf welche die klassische Analysis zurückgeführt werden kann. Das Programm der Hilbertschen Beweistheorie gegen entspringt gerade aus der Forderung, bei Beweisen der WFR ohne diese Voraussetzungen auszukommen^^), die Hilbert aber doch wohl an sich nicht aufgeben woUte^).

2 . 3 . Anders (als bei der UAG von H h-i H) wird es, wenn es darum geht, die UAG von H über M, also die WFR von M и { -t Я} zu weisen, wenn zu M и {Щ nur „3-wahre" bzw. „3-gültige" Formeln hören, besonders wenn 3 »die natürliche" oder gar „die einzig bare" Interpretation der jeweiligen Sprache ist. Man mag hier zunächst an die Beurteilung des Parallelenaxioms vor der Entdeckung der euklidischen Geometrie denken. Ähnlich ist die Situation aber auch in bezug auf zahlentheoretische Aussagen, deren Gültigkeit auf Grund von Beispielen vermutet werden kann, deren Beweis aber bisher nicht gelungen ist, oder in bezug auf Sätze, deren Beweis nur unter dung analytischer Hilfsmittel gelungen ist. Zwar ist es leicht, die UAG einer 9l-gültigen Aussage H über anderen 9l-gültigen Aussagen M zu beweisen, wenn M als Axiomensystem sicher zu schwach ist. Z. B. ist Kx{x^^ 2) udg über den Ringaxiomen, wie das Modell /'[у'г] zeigt. Ein Problem entsteht erst, wenn das vorausgesetzte system, etwa (Z) aus Hilbert-Bernays [i], S. 371, eine „natürliche"

9 ) siehe hierzu 4.1 : z. B. der durch (Z) erweiterte РЮ.

10 ) siehe hierzu 5.1: z. B. ÜT^z* oder K^z^-

11 ) Man kann nicht etwa sagen: Die Existenz ... zu beweisen, denn der Schluß von der WFR auf die Existenz eines Modells im Gö del sehen Vollständigkeitssatz (s. 3.3) setzt schon die Existenz unendlicher Bereiche voraus.

12 ) Hilbert [2], S. 274: „Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können". Da jedoch die geplante beweistheoretische Ehrenrettung der klassischen Analysis (vgl. dort S. 288) nicht in dem beabsichtigten Umfange lungen ist und wohl dies auch keine Aussichten mehr hat, bedarf es anderer dungen.