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Schrifttum

einer Geraden", „Spiegelung an einem Punkt*' und das gruppentheoretische Operieren mit diesen Begriffen im Vordergrund stehen. In der klassischen ebenen eukhdischen Geometrie, in den klassischen ebenen nichteukhdischen Geometrien und in vielen allgemeineren Geometrien hat man eine eindeutige Zuordnung zwischen den Punkten und Geraden und den Spiegelungen an diesen Punkten und Geraden. Dort lassen sich weiterhin die Begriffe „Inzi- denz von Punkt und Gerade'*, „Orthogonalität zweier Geraden" theoretisch einfach durch Relationen formulieren (der Begriff der spiegelung ist dabei noch zurückführbar auf den der Geradenspiegelung). Dadurch gelingt es, allein unter Zugrundelegung einer hinreichend stark umrissenen „Bewegungsgruppe" mit ausgezeichnetem Erzeugendensystem involutorischer Gruppenelemente (genannt Geraden), gewisse vorgegebene Klassen ebener Geometrien zu kennzeichnen. In hohem Maße voll bei diesem Vorgehen ist ja der Gesichtspunkt, daß man unmittelbar mit den geometrischen Objekten rechnet und sie nicht erst auf gewisse zeichnete dieser Objekte bezieht.

Im Zentrum der Betrachtungen steht ein Axiomensystem, das — wickelt aus einem Axiomensystem von Arnold Schmidt — in der benen knappen Form auf den Verfasser zurückgeht. Es läßt sich realisieren über die Bewegungsgruppe einer metrischen Ebene; umgekehrt gehört zu jeder metrischen Ebene — dieser neu in die Theorie hereingekommene griff wurde in seiner Tragweite ermöglicht durch eine Bemerkung K. tes — eine Bewegungsgruppe mit ausgezeichnetem Erzeugendensystem, die dem Ausgangs-Axiomensystem genügt.

Kap . I (Einführung) des insgesamt meisterhaft geschriebenen Buches ginnt — zum Zwecke des Einfindens — mit Betrachtungen innerhalb eines geometrisch reichhaltigen Falles, nämlich des Falles der klassischen ebenen euklidischen Geometrie. Dadurch hat der Leser Material zur Hand, das ihm bei den weiteren Entwicklungen zustatten kommt. — Kap. II [Metrische (absolute) Geometrie] ist der Theorie der metrischen Ebenen gewidmet; es gipfelt im Haupt-Theorem: Bewegungsgruppen metrischer Ebenen sind einbettbar in Bewegungsgruppen projektiv-metrischer Ebenen. suchungen zur Theorie der projektiv-metrischen Geometrien und ihrer wegungsgruppen werden in Kap. III (Projektiv-metrische Geometrie) geben. Die Kap. IV (Euklidische Geometrie), V (Hyperbolische Geometrie), VI (Elliptische Geometrie) behandeln Sonderklassen metrischer Ebenen unter dem Gesichtspunkt möglicher Vereinfachungen für die einzelnen Klassen. In einem Anhang werden Beiträge gegeben zur allgemein offenen Frage einer expliziten Charakterisierung der Klasse der metrischen Ebenen, die sich auf Grund des Haupt-Theorems reduziert auf die Auffindung der dem Ausgangs-Axiomensystem genügenden Untergruppen projektiv- scher Bewegungsgruppen.

Das voriiegende Buch kann nur wärmstens empfohlen werden.

Mainz . W. Benz.

H . Reichardt, Vorlesungen überVektot- und Tensorrechnung. (Hoch- schulbticher für Mathematik, Bd. 34). 499 S., 33 Abb., Berlin 1957, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Ln. DM 41,20.

In dem vorliegenden Buch wird in den ersten einführenden Kapiteln die Vektorrechnung zunächst auf dem Boden der affinen und der euklidischen