Übergangsgleichung und Lageraum für die Drehungen eines starren Körpers

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3 . Übergangsgleichung und Lageramn. Wir führen im Lageraum, dessen Punkte die Koordinaten (^ haben, eine Metrik ein, indem wir als sein Linienelement is die infinitesimale Drehung \dxQ \ des starren Körpers wählen:

( 15 ) gkidq^dq^^ds^=^dxx^\

Die Komponenten des Fundamentaltensors des Lageraums sind somit nach (3)

( 16 ) gki-4'^i'

Ist noch (a^) das zu den Basisvektoren a^^ reziproke Dreibein, dann sind die Komponenten des zum Fundamentaltensor konjugierten Tensors

( 17 ) g*'=a*-a'.

Damit berechnen sich die Christ of felschen Symbole erster Art zu

i - rQ\r „ I / dgkm , dgml dgkl\ \^^) -^ т,Ы~ 2 \ dql dqk dq^ )

- iL /ggfe дйП ( dum 9ttz \ / dam duk \\

" 2 r^\dql "^ dqk)'^^k\ dql dqm)'^^l\dqk dqfn)] '

was sich mit (4) in

( 19 ) ^m,H = a^ • -|^ + "7 [ож Ч аJ vereinfacht. Hierbei bedeutet

( 20 ) [a^^a^a/l^a^-a^feX a^

das Spatprodukt der Vektoren a^, a^^, a/. Die Christof felschen bole zweiter Art sind

und da hier a**a^ die Einheitsdyade ist, wird daraus

( 21 ) rr,= a'»--g-+|[a'»a,a,].

Bei einem eukUdischen Lageraum, in dem die Basisvektoren û;^ gleich als Basisvektoren für die krummlinigen Koordinaten q^ mit der Metrik (15) dienen könnten, müßte in (19) das Spatprodukt auf der rechten Seite fehlen [3, S. 129, Gl. (46.5)]. Aus diesem Grunde nen wir den Riemannschen Krümmungstensor

( 22 ) Rj^^^^== -^—. rf^i^—-^rj^i^+ J^lkn^lm~^lkm^ln

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