Zur Affingeometrie auf Mannigfaltigkeiten

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Vermöge der differentiellen Relation (21) läßt sich für w ^ 3 die zweite quadratische Grundform durch die erste quadratische und die kubische Grundform sowie die induzierte Krümmung der Hyper- fläche ausdrücken. Satz 9: Für w ^ 3 gilt

( 26 ) b = ~ R f^ +r*4- —^ ^ (Rf^ ^ — r'^)

Beweis : Aus (21) folgt durch Kontraktion bezüglich J^ zunächst

und daraus durch Überschiebung mit g^'^

Durch Einsetzen der zweiten in die erste Gleichung erhält man die behauptete Abhängigkeit.

Wir zeigen jetzt, daß die Integrabilitätsbedingungen (24) und für M ^ 4 auch (23) entbehrlich sind. Satz 10:

( 24 ) ist eine Folge von (21).

Für n^ 4 ist (23) eine Folge von (20), (21) und (22). Beweis: Zunächst ist unter Benutzung von (i)

V . . = о,/;*,-е,г/,+/;',г/,-г,^,гД = (0,3,-0,0,) log] g| = o.

Analog gilt

also bei Verwendung der Apolarität (14)

Dann folgt aus (21) durch Kontraktion bezüglich ^ und Benutzung von (7)

Ь — b = — R Q -i- r*^ =i?°

^ra ^ат ^ Q от '^ 'q or ^^o от >

womit die erste Behauptung bewiesen ist. Für die zweite Behauptung brauchen wir die zweite Bianchi-Identität unserer tensoren

und

^v'q от • ^o'q TV ' ^T^Q vo ^

sowie die aus (20) und (22) folgende Relation