Gruppentheoretische Methoden in der Geometrie

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Eine Inzidenzstruktur heißt endlich, wenn sie nur endHch viele Punkte und endlich viele Blöcke besitzt. Eine endHche struktur heißt symmetrisch, wenn sie ebenso viele Punkte wie Blöcke besitzt.

Eine endHche Inzidenzstruktur ^ heißt taktische tion mit den Parametern v, b, k, r, falls .^genau v Punkte und b Blöcke besitzt und falls auf jedem Block von .^genau k Punkte Hegen und durch jeden Punkt genau r Blöcke gehen. OffensichtHch ist vr = bk.

Ein t-{v, k, X) Blockplan ^ ist eine taktische Konfiguration mit der zusätzHchen Eigenschaft, daß irgend t verschiedene Punkte von 5Э mit genau A Blöcken inzidieren. Einen symmetrischen Blockplan nennen wir auch projektiv. Ein 2-(t;, *, Я) Blockplan ist genau dann jektiv, wenn k{k — 1) = X{v — 1) ist.

Unter einem affinen Raum verstehen wir stets einen projektiven Raum mit einer ausgezeichneten Hyperebene. Diese Hyperebene und die mit ihr inzidierenden Punkte heißen uneigentlich, aUe übrigen Elemente eigentlich oder auch affin.

Ist é eine endHche projektive Ebene und Hegen auf einer Geraden dieser Ebene q + 1 Punkte, so heißt q die Ordnung von <?. Die Ordnung einer endHchen affinen Ebene ist die Anzahl der Punkte auf einer Geraden.

Eine Menge von 5^ + 1 Punkten einer projektiven Ebene der nung q heißt Oval, faUs keine drei Punkte dieser Menge kolHnear sind.

Eine Menge von q^ + 1 Punkten eines 3-dimensionalen projektiven Raumes über GF{q) heißt О void, faUs keine drei Punkte dieser Menge kollinear sind.

Eine Geradenkongruenz eines 3-dimensionalen projektiven Raumes ist eine Überdeckung dieses Raumes mit paarweisen schiefen Geraden.

Ein Isomorphismus der Inzidenzstruktur У = (ф, S, I) auf die Inzidenzstruktur У' = (ф', SB', Г) ist ein Abbildungspaar {er, r) mit den folgenden Eigenschaften : (a) а ist eine umkehrbare Abbildung von Sß auf Ф', (b) T ist eine umkehrbare Abbildung von 95 auf 95', (c) es ist P I b genau dann, wenn P^ V Ъ^ ist. Wir werden im folgenden beide Abbildungen stets mit dem gleichen Buchstaben bezeichnen.

Ein Automorphismus einer Inzidenzstruktur У ist ein morphismus von J auf sich. Die Automorphismen von У bilden mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung eine Gruppe. Auto- morphismen von affinen und projektiven Räumen nennen wir auch KoUineationen.

Jahresbericht d. Deutschen Mathem.-Vereinigung 70, i. Abt., Heft i

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