Gruppentheoretische Methoden in der Geometrie

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( 6 . 3 ) Satz (Poincaré). Ist G eine Gruppe und sind Л^, . , ., A^ endlich viele Untergruppen von G und ist [G:A^] für alle i endlich, so ist

r

auch [G: П A^ endlich, 1=1

Die mit A inzidierenden Blöcke sind von der Form В a mit a eA und es ist Ba = Ba' genau dann, wenn a'a-^ еАпВ ist. Ferner haben die Punkte, die mit В inzidieren, die Form Ab mit Ь еВ und zwei solcher Punkte А b und А Ь' sind genau dann gleich, wenn b'b"^ eA пВ ist. Aus der Fahnentransitivität von G* auf J {G; A, B) folgt daher

( 6 . 4 ) (Higman und McLaughlin [21]). Ist J {G\ A, B) endlich, so ist J (G\ AyB) eine taktische Konfiguration mit den Parametern t; = [G:Alb = [G:jB], ^ = [B:A nB]undr^ [A:A nß].

Was bedeutet es nun für G, A und B, wenn zwei Punkte von J (G\ A,B) stets verbindbar sind? Und was bedeutet es, wenn zwei verschiedene Punkte stets höchstens mit einem Block inzidieren? Darüber geben Auskunft

( 6 . 5 ) Zwei Punkte von ^ {G; A, B) sind dann und nur dann stets ver- bindbar, wenn G == ABA ist,

und

( 6 . 6 ) Zwei verschiedene Punkte von У {G; A, B) inzidieren genau dann stets mit höchstens einem Block, wenn AB пВА = А и В ist.

Beweise für (6.5) und (6.6) findet man in Higman und lin [21].

Im folgenden nehmen wir an, daß G endüch ist. Aus (6.4), (6.5) und (6.6) folgt

( 6 . 7 ) (Higman und McLaughlin [21]). ^ {G; A, B) ist genau dann ein 2-Blockplan mit A = i, wenn G, A und В den folgenden Bedingungen genügen:

( i ) G^ABA, (ii) i4ß nJ5i4 = Л uß, (üi) А ^ В und В ^ A.

Eine Gruppe G, die zwei Untergruppen А und В enthält, so daß (i), (ü) und (iii) erfüllt sind, nennen wir eine geometrische ABA- Gruppe.

( 6 . 8 ) (Higman und McLaughlin [21]). Ist Г eine fahnentransitive Kollineationsgruppe eines z-Blockplans % mit Я = i, so operiert Г auf den Punkten von S8 primitiv.