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Ludwig Bieberbach

Kreisbüschels ist. Auch hier lehrt die Extremaleigenschaft, daß die Komplementärmenge des Bildgebietes das Maß 0 hat. Bei dieser Gelegenheit hebt Koebe auch sein allgemeines prinzip hervor. Es ist die heute noch offene Frage, ob man jede artige Riemannsche Fläche auf ein schlichtes Gebiet konform abbilden kann, bei dem jedes maximale Randkontinuum ein Punkt oder ein Kreis ist, und ob dann der Gebietsrand das Flächenmaß 0 hat bei passender Wahl der Abbildung.

Koebe hat seine Untersuchungen zunächst in vorläufigen gen bekannt gemacht und sie dann anschließend in mehreren handlungsserien in aller Ausführlichkeit unter Erschöpfung aller zelheiten dargelegt. Es sind die Abhandlungsserien über die Uni- formisierung der algebraischen Kurven: [15], [22], [28], [35], über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven [23], [24] und über die Abbildung schlichter, endHch vielfach zusammenhängender Gebiete auf Normalgebiete [37], [39], [40], [45], [46], [50].

Bis dahin schienen Koebes und der anderen Verfasser Methoden von dem Gedanken beherrscht, passende Überlagerungsflächen schlicht abzubilden. Oft wurden diese auch durch einfachere bereiche ausgeschöpft. Zuerst wohl an dem Problem der Abbildung eines endlich vielfach zusammenhängenden Gebietes auf ein von lauter Vollkreisen begrenztes Gebiet zeigt sich der Übergang zu einem iterierenden Verfahren. Man kann in diesem Fall nämHch die benötigte Überlagerungsfläche wie folgt aufbauen: Man bilde den gegebenen Bereich nach dem Riemannschen Abbildungssatz so ab, daß eine kurve zum Vollkreis wird. An diesem Vollkreis spiegele man den gebenen Bereich (d. h. sein eben gewonnenes Bild). So tut man einen ersten Schritt zum Aufbau der Überlagerungsfläche, indem man einen aus zwei spiegelbildlichen Exemplaren des gegebenen aufgebauten Bereich erhält. Eine seiner Randkurven führe man wieder nach dem Riemannschen Abbildungssatz in einen Vollkreis über und spiegele emeut. So hat man schon einen aus vier Exemplaren des gegebenen aufgebauten Bereich. Fortsetzung des Verfahrens in infinitum führt zur Überlagerungsfläche. Statt nun diesen Prozeß lediglich zum bau der universellen Überlagerungsfläche zu verwenden, bemerkt Koebe, daß man in den sukzessiven Abbildungen nach dem schen Abbildungssatz eine Funktionenfolge hat, die gegen die gesuchte Abbildung des gegebenen w-fach zusammenhängenden Bereichs auf ein Vollkreisgebiet konvergiert. Denn im Laufe des iterierenden fahrens erhöht sich die Spiegelungsfähigkeit immer weiter, und es zeigt sich, daß ein Gebiet unendlicher Spiegelungsfähigkeit ein Voll-