lo8 Walter Benz, Werner Leissner und Helmut Schaeffer

Die zugehörigen Geometrien lassen sich dabei ausnahmslos als Geometrien anschaulicher räumHcher Kurvensysteme deuten, die Analogien zu den zweidimensionalen Fällen i, 2, 3 aufweisen. Zum Beispiel gilt in allen acht Fällen der Satz von Miquel, eine (83, 64)- Konfiguration. Übrigens sind die Algebren 4 bis 8 alle kommu- tativen, assoziativen Algebren mit Einselement der Dimensions über R.

Sind es die Geraden, die etwa in der projektiven Geometrie eine zentrale Rolle spielen, so sind es die Kreise, Zykel, Ketten in den Fällen i bis 8 und im allgemeinen Falle.

Der vorUegende Bericht ist eine Fortsetzung der Berichte

M : W. Benz, Über Möbius-Ebenen, Jber. Deutsche Math.-Verein. 63

( i960 ) 1—27. L: W.Benz, H. Maurer, Über die Grundlagen der Laguerre-

Geometrie , Jber. Deutsche Math.-Verein. 67 (1964) 14—42.

Er dient den gleichen Zielsetzungen wie die Berichte M, L. Er weist hin (§ i) auf eine in [8] angegebene homogene Dachtheorie, die Möbius-, Laguerre-, Minkowski-Geometrie neben den Fällen 4 bis 8 als Spezialfälle umfaßt, aber auch (neben weiteren) die von van der Waerden, Smid eingeführten abstrakten Möbius- und Laguerre- Geometrien. Neuere Resultate (§ 2) zum Automorphismenproblem, über die (mit der Laguerre-Geometrie) verwandte Lie-Geometrie (§ 3), über die Minkowski-Geometrie werden zur Sprache kommen. Auch das neuere und wichtige Resultat von Yi Chen, daß nämUch der einfache Miquel in einer Möbius-Ebene den vollen Miquel zur Folge hat, wird in präziser FormuHerung vorgestellt werden. Auf den endlichen Fall sind wir nicht gesondert eingegangen. In diesem Zusammenhang verweisen wir auf das Buch (und auf die dort zitierte Literatur) von P. Dembowski, nämUch „Finite Geometries, nisse der Mathematik, 1968", in dem über mannigfache Resultate über endliche Möbius-Ebenen berichtet ist.

Ein Buchmanuskript, das hier behandelte und weitere Themenkreise systematisch darstellt, ist fertiggestellt worden (s. [8]).

§ 1. Geometrie fiber einer Algebra

Sei ft ein kommutativer Körper und sei 31 eine kommutative und assoziative Algebra über ft mit Einselement i und der Dimension wenigstens 2 über ft. Der Körper ft sei kanonisch in Ш eingebettet in der Gestalt ft • i. ffinfort wollen wir Л € ft und Ä • i e 91 nicht mehr