Eine gruppentheoretische Methode in der Musiktheorie

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Beweis : Wir fassen Z(2*) als die Menge {0,1,...,2'' - 1} mit der Addition mod T auf. T~^ ist das einzige Element der Ordnung 2. Sei A eine Teilmenge von {0,1,...,2^ - 1}, die Л + 2*^-^ = Л' erfüllt. Wäre /^ von {0} den, so würde /^ die Untermenge {0,2*~^} enthalten, die offensichtlich in allen von {0} verschiedenen Untergruppen enthalten ist. Das würde А -\-T~^ =^ А üefern, was nicht geht. Also ist /^ = {0} und А hat damit T verschiedene Translate. Jede Teilmenge A von Z(2"), die Л + 2°^"^ = Л' erfüllt, gehört also zu einem maximalen a/c-Akkord. Da es nach Satz (8.6) genau E(2''"^) solche Teilmengen gibt, bekommt man genau

( 1 ) E(2^-^)-2-^ = E(2"-^ - a) maximale a/c-Akkorde in Z(2''). Wir bekommen also

( 2 ) n,,(Z(2«)) = E(2«-i-a).

Nun wenden wir Satz (8.2) an. Die von Z(2'') verschiedenen Untergruppen von Z(2'') sind 2^Z(2'') (y = l,2,...,a). Die zugehörige Quotientengruppe ist jeweils isomorph zu Z(2^). Wenn man dies mit (2) und Satz (8.2) kombiniert, kommt (f) heraus.

Jetzt gehen wir zum „allgemeinen" Fall (genau ein Element der Ordnung 2) über.

( 8 . 8 ) Lemma . Sei А eine Teilmenge von G, die А -i- l'^'^ h = A' erfüllt. Dann ist Ia с {0} X Go.

Beweis : Sei (x^,Xo) e /^. Angenommen Xe Ф 0, dann sei s die Ordnung von Xo. Da v(Go) ungerade ist, ist auch s ungerade und >0. Da /^ eine gruppe ist, gehört

s { Xe , Xo ) = {sXe,SXo) = (5X^,0)

ZU 1a' Da Xe zu Z(2") gehört und s ungerade ist, gilt sxe ф ^. Die von sxe erzeugte Untergruppe von Z(2") muß daher das Element 2^~^ enthalten, 1a also das Element {Т-\Щ = 2^-^к, Es folgt Л + 2"-^Л = Л, was А + 2^~^h = Ä widerspricht.

( 8 . 9 ) Erläuterung. Um nun zu einer Formel für Д,к(0) zu gelangen, gehen wir folgendermaßen vor. Jeder a/c-Akkord mit v(G) Elementen besteht aus lauter Mengen А mit А -\- T^'^h = A\ Für viele solche Mengen wird die Untergruppe /^ größer als {0} sein. Diese Mengen müssen wir eliminieren. Nach Lemma (8.8) ist jedes dabei auftretende /^ eine Untergruppe von {0} X Go. Sei Li,...,Lfc eine eineindeutige Aufzählung derjenigen gruppen von {0} X Go, die Primzahlordnung haben. Die entstehende Liste ist ein Teil der analog bezeichneten Liste in (6.8). Jedes von {0} verschiedene Ia enthält mindestens ein L^, also ist A eine Vereinigung von Nebenklassen von Lj. Für beliebige 1 <ji <J2 < '" < js ^ к sei