ELEMENTE DER MATHEMATIK

Revue de mathématiques élémentaires - Rivista di matematica elementare

Zeitbchnft zur Pflege der Mathematik

und zur Forderung des mathematisch-phybikahschen Unterrichts

Organ fur den Verein Schweizerischer Mathematiklehrer

El Math Band V Nr 6 Seiten 121-144 Basel 15 November 1950

Polygone mit maximalem Flächeninhalt

In seinem berühmten Werk über isoperimetrische Figuren hat der griechische Mathematiker Zenodoros bewiesen, daß unter allen Polygonen mit gegebenem fang und gegebener Seitenzahl das reguläre n-Eck den größten Flächeninhalt be- sitzti)

Wie steht es nun, wenn nicht nur der Umfang gegeben ist, sondern alle Seiten feste Langen haben ^

Das größte Parallelogramm mit gegebenen Seiten a und Ъ ist offenbar das eck Fur Polygone mit gerader Seitenzahl, die eine Symmetnelime haben, hat schon Steiner bewiesen, daß sie bei gegebenen Seiten dann am größten sind, wenn sie sich einem Kreis einbeschreiben lassen

Diese Erwägungen bringen uns auf die folgende Vermutung

Unter allen n-Ecken mit gegebenen Seiten hat das]emge den größten Flacheninhalt, das steh einem Kreise einbeschreiben laßt

Diese Vermutung soll hier bewiesen werden

Fangen wir mit dem Viereck an' Die gegebenen Seiten seien a, b, c, d Die gonale, die a und b unterspannt, sei x Der Flächeninhalt L ist entweder die Summe oder die Differenz der Flächeninhalte der Dreiecke mit den Seiten a, b, x und c, d, x. Wollen wir das Maximum haben, so müssen wir die Summe nehmen. Nach einer berühmten Formel von Archimedes, die gewöhnlich nach Heron benannt wird, ist also

4L -~]/{a-] b -^ x) (a-i- b - x) (a- b + x) {-a | b -\~ x) -\ ]/{c -\ d-\~ x) {C + d x) {c d+ x) {- с -i d [ x)

Der kleinste Wert, den x annehmen kann, ist а - b oder с ~ d, ]e nachdem, welche von beiden Differenzen großer ist Nehmen wir etwa an, es sei а — ^ In der Nahe dieses kleinsten Wertes nimmt F sehr schnell zu, da m dem ersten Term von F der Faktor У—а -^ b -\ x steckt, der hei x — а — b unendlich steil ansteigt Ebenso fallt beim größten Wert x а-\- b oder с -f ^ die Funktion F unendlich steil ab.

In dem Intervall zwischen dem kleinsten und dem größten Wert von x ist F eine stetige Funktion von x Eine solche stetige Funktion hat entweder m dem Intervall

^ ) Das Werk des /enodoro^ ist uns bckmnt ms Auszügen bei Гнюк von Alexandnen und Pappos Siehe Th Hlath, А History of Greek Maihematic, Bd 2 S 207 oder теш neues Buch über ägyptische, babylonische und griechi<=cl e Mitl cmatik Oniuakende Ц etetrchap (P Nocrdhcff, (^xcningcn 1950)