Aufgaben

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Losung Die Involution, die von den durch F gehenden in bezug auf k^ konjugierten Strahlen gebildet wird ist rechtwinklig Projiziert man diese Strahleninvolution mit dem Ebenenbuschel FS auf ^2 so erhalt man die Strahleninvolution von F in bezug auf k^ in ^2 Diese Strahleninvolution ist aber infolge der Symmetrie von e^ und ^2 bezüglich der zu FS senkrechten Ebene durch F mit der in e^ liegenden Strahleninvolution winklig, das heisst rechtwinklig F ist also ein Brennpunkt von Ä2 J Schopf, Budapest

Herr A Unterberger (Bludenz) weist darauf hm dass im Fall des Rotationskegeis der Beweis auch elementar mittels der Dandelinschen Kugeln gefuhrt werden kann

Weitere Losungen sandten F Goldner (London) R Lauffer (Graz) A Stoll (Zurich)

Aufgabe 162. Bei einem Kugelausschnitt von gegebenem Volumen V sei r der Radius der Kugel, d der Durchmesser des Kantenkreises, h die Hohe der Kugelkappe (0 < Ä ^ 2 y, so dass auch nichtkonvexe Teile der Kugel und die ganze Kugel zugelassen sind) Man stelle die Oberflache F dieses Korpers als Funktion dei unabhängigen blen r dar und bestimme die Extremwerte der Oberflache R Lauffer Graz

Losung 1 Es ist 3 F = 2 л у2 Ä und 2F = ^ лг h -\- nr d, ferner

3 7(4яуЗ-37)

6 F / 3 F \ ^2 = 4 Ä (2 r - Ä) = -Ц- ( 2 y ---------Л

Daraus folgt

( 2 F r - 6 F)2 = я2 у4 ^2 _ 3 у (4 ^ уЗ _ 3 17)^

somit

6 F + 1/3 F (4 я у«-3 F)

~____________2r____________'^

2 Fur die Diskussion des Verlaufes von F erweist sich der Formparameter

d , w

als besonders gunstig w ist der Öffnungswinkel des Sektors, x durchlauft also alle tiven Werte Fur дг = 0 wird der Sektor zur Kugel Damit wird 2r=(x^-\-l) h, somit 6F = я(дг2^-1)2^3 und 2^=2ягА(дг + 2) = я(лг2+1) (дг + 2) Ä2 Darausfolgt

F^^ / ^ + ^) mit C3 = -^.

У^2дрт________________2

Massgebend fur den Verlauf von F bei positiven x ist also die Funktion

{ х - ^2у

y = .

ДГ24 - 1

Ihre Ableitung y' = (x -{- 2)^ (x^ — 4 x -i- 3)/(x^-{-1)2 hat als einzige positive Nullstellen лг=1 und дг=3 Fur diese wird y''= (x + 2)^ (2 x-4)l(x^-i-1)^ Bei x=^l hegt also ein relatives Maximum, bei л? = 3 em relatives Minimum vor, und zwar ist y(l) = 27/2 und y{3) = 25/2 Beide werden fur positives x ein zweites Mal angenommen Es ist namlich

2 (л? + 2) 3 - 27 (дг2 -1- 1) = (ЛГ - 1) 2 (2 ДГ - 11) und

2 (xi- 2)3 - 25 (дг2+ 1) = (ж - 3)2 (2 ^ - 1),

somit ^(1) = у (11/2) und у (S) = y(l/2) Rechts von дг = 11/2 wachst у unbegrenzt, und