M . Jeger : Das axonometrische Prinzip im Lichte modemer Begriffsbüdungen

nünftigen Wahl 2) des axonometrischen Achsenkreuzes die Abbildung ?I stets auch erzeugt werden kann durch Parallelprojektion des Raumes auf eine geeignete Ebene л und eine nachfolgende ähnliche Abbildung von n auf die Ebene öc. Hieraus ergibt sich, dass ?I eine geradentreue Abbildung des Raumes auf die Ebene ä ist, mit tiger Invarianz der Parallelität. Die Kenntnis dieser Eigenschaften verbürgt die Anwendbarkeit der Gesetze der Parallelprojektion bei der Konstruktion axonometri- scher Bilder. Dazu genügt aber auch schon die Tatsache, dass die aus unserem Achsenkreuz hervorgehende Abbildung % äquivalent ist mit einer Parallelprojektion

R^ , 2 , % )

Figur 1

Figur 2

des Raumes auf eine beHebige Ebene n (welche die Projektionsrichtung nicht enthält) und eine nachfolgende affine Abbildung von л auf ä. Bei diesem Sachverhalt schwindet die Bedeutung des Pohlkeschen Satzes für die darstellende Geometrie ganz lich^). Die letztere, in bezug auf den Satz von Pohlke schwächere Aussage ist wesenthch leichter zu beweisen. Es sei hier ein Beweis nach einer Idee von E. fel*) wiedergegeben.

Da das axonometrische Achsenkreuz zu W den Rang 2 hat, gibt es zwei natenachsen, deren Bilder nicht in derselben Geraden liegen; es seien dies etwa у und z. Es existiert nun stets eine affine Abbildung von ä auf eine Ebene л", bei der das axonometrische Achsenkreuz die spezielle Gestalt der Figur 2 annimmt : y" und z" sind orthogonal und 0"Y" =^0"Z"=1. Der Geraden x entspricht eine bestimmte Gerade x" durch 0" \ X" sei das Bild des Einheitspunktes X. Das spezielle kreuz in л" ist nun aber Parallelprojektion eines räiunlichen Dreibeins. Man erkennt dies so, indem man die beiden Geraden y" = у und z" = z in л" durch eine dritte,

2 ) Als vernünftig gilt jedes axonometrische Achsenkreuz Ô(i, y, i), für welches das Bild des Raumes die ganze Ebene ä bedeckt. Dies bedeutet, dass i, y und i nicht in eine einzige Gerade zusammenfallen dürfen. Man spricht in diesem Falle von einem Achsenkreuz mit dem Rang 2.

• ) Dieser Standpunkt wird unseres Wissens erstmals vertreten von E. Stiefel in [10]. Man vergleiche auch [U].

* ) Vergleiche [10]. Seite 131.