о GiERiNG Ausfüllung von Еишюп durch einbeschnebene gleichseitige n Ecke 79

Die abgeschlossene Vereinigungsmenge aller einbeschriebenen gleichseitigen n-Ecke, die identisch ist mit dem von der Eilinie berandeten Eibereich, werde als «Ausfüllung» der Eilmie durch gleichseitige w-Ecke bezeichnet Fur n = 3 erhalt man eine lung durch gleichseitige Dreiecke, im n = 4 durch Rhomben 2) Es gilt also

Satz 1 : JedeEthme kann durch einbeschnebene gleichseitige n-Ecke ausgefüllt werden

Die Ausfüllung einer Eilinie durch gleichwinklige п-Еокг leistet fur w = 3 Satz 1, da jedes gleichseitige Dreieck gleichwinklig ist

Durch graphische Gegenbeispiele überzeugt man sich sofort, dass im allgemeinen fur w > 4 keine Ausfüllung möglich ist Es wird daher im folgenden die AusfuUbarkeit durch gleichwinklige Vierecke, also Rechtecke studiert^)

Jede Stutzgerade p einer Eilinie wird m einem Stutzpunkt P m zwei geraden pQ und pQ geteilt (Figur 2) Die von P ms Eihmenmnere weisende male qQ schneidet die Eilmie noch m einem weiteren Punkt S und bildet mit der Halbstutzgeraden pQ den rechten Winkel {p^, q^) *) Dreht man (pQ, ^q) um semen Scheitel P derart, dass m der durch den Drehwmkel <p = л:/2 festgelegten Endlage (p„l2, ^л/2) d^r Schenkel p„i2, auf die Halbnormale ^q fallt, so schneiden die Schenkel p^, q^ die Eilinie m jeder Zwischenlage (p^, q^ (0 < 9? < njl) m je einem weiteren von P verschiedenen Punkt und zwar p^ in P^ und q^ in Q^ (es ist also Pq = Q^^ = P und P^/2 = Qo== S) Die Punkte P, P^ und Q^ lassen sich fur 0 < 9p < njZ zu einem Rechteck PP^Q^R^ erganzen Fur die Ausgangslage (p^, q^) des rechten Winkels (P(p> Я(р) entartet das Rechteck PP^pQ^R^ m die von der Eihnie aus der malen q^ ausgeschnittene Strecke PS, dasselbe gilt fur die Endlage {pnß* ^я/2) Ist die Rechtecksecke R^ fur alle cp em fester Punkt, so fallt er mit S zusammen, und die Eilinie ist notwendig der Kreis über PS Wird dieser Sonderfall im folgenden schlossen, so durchlaufen die Punkte R^ eine Ortskurve k, die aus Stetigkeitsgrtinden m S geschlossen ist.

* ) Foidert man bei w = 4 keine Gleichseitigkeit, sondern nur Sj = s^ und s^, = S3, so erhalt man eme Ausfüllung durch Drachen, bei der Forderung s^ == S3, s^ == ц eine Ausfüllung durch Parallelogramme

' ) Übrigens kann jeder Edmie em Quadrat einbeschrieben werden, vgl I M Jaglom und W G Bolt JANSKI, Konvexe Figuren (Berlin 1956), S 24

* ) P und S seien zunächst keine Ecken der Eilmie