J . Schopf: Verschärfung eines Kreisabdeckungssatzes

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Bezeichnen wir mit 0^((х.е Л) den Mittelpunkt des Kreisbereiches K^, so folgt aus der Ausgangsbedingung:

Ö^Öfl ^d. (1)

Sei M* die Punktmenge der Mittelpunkte 0^ der Kreisbereiche K^, so folgt aus (1), dass M* eine abgeschlossene ebene Punktmenge von konstanter Breite d - einen abgeschlossenen Orbiformbereich vom Durchmesser d - darstellt.

Diese Orbiforme lässt sich aber, wie oben erwähnt, mit drei Kreisen vom messer d 1/3/2 abdecken.

Bezeichnen wir diese drei Abdeckungskreise mit C, {i = 1, 2, 3), ihre Mittelpunkte mit P^. Offenbar gehört in diesem Fall zu jedem Element а von А ein solches i (i = 1, 2, 3), dass 0^ С C^. Hieraus folgt, dass der Abstand zwischen 0^ und dem Mittelpunkt P^ des Abdeckungskreises C^ den Halbdurchmesser von C, nicht schreitet :

ÖJ^ . ^dßl4 . (2)

Bezeichnen wir ferner mit Cf {i = 1, 2, 3) den Kreis mit dem Mittelpunkt P^ und mit dem Halbdurchmesser

r * = dj2~d )/з/4 = d{2- /з)/4 ä; 0,06698 d ,

so folgt aus (2), dass

Cf с K„. Hieraus folgt :

Satz I. Die vollständige Menge derjenigen abgeschlossenen ebenen Kreisbereiche vom Durchmesser d, die paarweise einen nichtleeren Durchschnitt besitzen, lässt sich in drei Teilmengen so zerlegen, dass die zu derselben Teilmenge gehörigen Kreisbereiche sämtlich einen Durchschnitt besitzen, der einen abgeschlossenen Kreisbereich vom Durchmesser d*^d(2- \/3)l2 « 0,73397 d enthält.

Obiger Satz enthält den Hadwigerschen Satz (für ^* = 0).

Der Wert des Durchmessers d* lässt sich nicht mehr vergrössern, da eine forme vom Durchmesser d sich im allgemeinen mit drei Kreisen, deren Durchmesser kleiner als ^]/3/2 ist, nicht abdecken lässt (zum Beispiel ein Kreis vom Durchmesser^).

Aus Satz I folgt ein anderer, wesentlich gleichbedeutender Satz. Sei M die ständige ebene Menge der Kreisbereiche K^(oLe A) mit dem Mittelpunkt 0^ und mit dem Halbdurchmesser r = ^/3/4. So folgt aus (2), dass zu jedem Element a von A ein solches i {i = 1, 2, 3) gehört, dass

Рг^К' (3)

Die Kreisbereiche K^ der Menge M lassen sich also mit drei Punkten abstechen. Die abgeschlossenen Kreisbereiche K^ besitzen im allgemeinen keinen nichtleeren Durchschnitt, es gilt jedoch

sup (inf QR)^d(2- /3J/2 , (4)

falls QeK^ und ReKß (oL,ßeA; OL ^ ß). Nach einfacher Rechnung folgt aus (3) und (4) der