J M Ebersold Kleine Einführung in die Topologit

51

Umgebung eines Punktes p von R Fur jedes ^ > 0 heisst die Menge U(P,q) aller Punkte q von R, fur die d{p, q) ^ Q gilt, eine Umgebung von p

( Beispiel Inneres einer Kreisscheibe vom Radius g um den Mittelpunkt p )

Offene Menge Eine Teilmenge M von R heisst offen, wenn jeder Punkt von M eine Umgebung besitzt, welche ganz m M enthalten ist, das heisst M besteht nur aus sogenannten inneren Punkten

( Beispiel das Innere oder Äussere eines endlichen einfach geschlossenen zuges )

Die oben definierten Umgebungen sind offene Mengen Jede offene Menge, welche eine Umgebung von p enthalt, nennen wir von nun an ebenfalls eine Umgebung von p Fur offene Mengen sieht man leicht die folgenden Satze em

Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge

Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge

( Dabei wird vereinbart, dass die leere Menge offen sei )

Dass der letzte Satz fur unendlich viele Mengen falsch sein kann, zeigt folgendes Beispiel m E^ Sei q^, ^2, ^3, eine Folge von positiven Zahlen, fur welche hm ^„ = 0 ist Dann gilt fur jeden Punkt p

U ( p Q,)nU(p,Q,)nU(p,Q,)n p

und der Punkt p stellt m E^ keine offene Menge dar

Abgeschlossene Menge Eine Teilmenge M von R heisst abgeschlossen, wenn ihr

Komplement с M eine offene Menge ist

( Beispiele Jeder endliche Streckenzug Jeder einfach geschlossene endliche

Streckenzug unter Emschluss semes Innern Die Menge aller Punkte mit ganzzah-

ligen Koordinaten)

Die genannten Satze fur offene Mengen lassen sich fur abgeschlossene Mengen

wie folgt übersetzen (am einfachsten durch Verwendung von Regeln der Booleschen

Algebra )

Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen Haufungspunkt p einer Menge M p heisst Haufungspunkt von M, wenn jede

Umgebung von p mindestens einen, von p verschiedenen, Punkt von M enthalt (Beispiel Jeder Punkt p(x, y) von E^ mit л; = 0, | 3; | < 1 ist Haufungspunkt der

Menge der Punkte, fur deren Koordinaten y = smllx, x Ф 0 gilt )

Ist jeder Punkt von R Haufungspunkt einer Menge M, so heisst M dicht m R (Beispiel Die Menge aller Punkte von E'^ mit rationalen Koordinaten ist dicht

in £2)

Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Haufungspunkte halt Beweis a) M sei abgeschlossen Jeder Punkt p von с M, das ja offen ist, besitzt eine Umgebung, die ganz m cM hegt, also keinen Punkt von M enthalt, das heisst, p ist nicht Haufungspunkt von M Ъ) M enthalt alle seme Haufungspunkte Jeder Punkt p von с M besitzt, da er nicht Haufungspunkt von M ist, mindestens eine Umgebung, die keinen Punkt von M enthalt, die also ganz m с M hegt, das heisst, с M ist offen, also M abgeschlossen

Abgeschlossene Hülle einer Menge M heisst die Vereinigung von M mit allen ihren Haufungspunkten