62 W. Nohl: Die innere axiale Symmetrie zentrischer Eibereiche der eukhdischen Ebene

^ ,

Das Parallelogramm E von Figur 4 sei identisch mit dem Parallelogramm von Figur 1. Zur Berechnung von ol{E) ist die Ermittlung eines optimalen schen Bereiches A* mit A* QE erforderlich. Ist a* eine Symmetrieachse von Л* und spiegelt man E und Л* an a*, so wird sofort ersichtlich, dass Л* mit dem Durchschnittsbereich E П E* zusammenfallen muss, wenn E* das Spiegelbild von E bezüglich a* darstellt. Es ist ferner zulässig, bei der Ermittlung einer optimalen Achse a* nur diejenigen Achsen a zu berücksichtigen, die durch das Symmetriezentrum M laufen. Man zeigt nämlich leicht, dass die Spiegelung von E an einer solchen Achse zu einem schnittsbereich E П E^ führt, der flächenmässig sicher nicht kleiner ist als der entsprechende Durchschnittsbereich E П E^^, den eine beliebige, zu a parallele Achse a' liefert. Einfache tere Überlegungen ergeben schliesslich, dass eine optimale Achse gefunden werden kann, wenn in Figur 4 die hängige X von 0 bis + oo läuft. Der Flächeninhalt F{A) des Durchschnittsbereiches A = E П E^ wird jetzt zu einer Funktion von X.

Die Rechnung ergibt für die Hilfsgrössen u, v, w in Figur 4 die folgenden Resultate :

7\l

x - \ - 7

Setzt man noch so erhält man

2 (3 д; + 20)

С = 40 (p - 1), F{A)=^

X + 5

( 3 . 1 )

( 3 . 2 )

Figur 4

C - ^(^- -^l/^ f[{lO]/2~U)x^-\- (80[/2- 111);^+ (l40l/2- 19Q)] ^---^ Ж*+22дгЗ+175дг2+590дг+700

( 3 . 3 )

Aus (3.3) ist sofort ersichtlich, dass F{A) für % = 5 /2 maximal wird.

Für einen maximalen Bereich Л* gilt hier also

F { A^

С .

Mit (1.2) und (3.2) folgt:

^^^^ F{E) ~ F(E) - 20 -^W^ Ч-

Damit ist der eingangs formulierte Satz bewiesen.

( 3 . 4 )

4 . ScMussbemerkungen Eine eingehendere Untersuchung lehrt, dass die Klasse der Extremalbereiche aus einer zweiparametrigen Schar von Parallelogrammen besteht. Diese Parallelogramme