M Jeger Über die gruppenalgebraische Struktur der Elementargeometne (Fortsetzung) 29

St E est un ensemble de nombres naturels de densité supérieure > ^/g tout nombre naturel est d'une infinité de manières une différence de deux nombres de Vensemble E

Or , d'après une remarque de M A Schinzel notre théorème peut être déduit sans peine de la proposition suivante, démontrée par M T Nagell dans son travail Zur Arithmetik der Polynome, Abhandlungen aus dem Math Seminar Univ Hamburg / (1922), p 188

Si les nombres (a^, 6,) (i = 1, 2, 3) ne sont pas divisibles par aucun carré d'un nombre premier, il existe une infinité de nombres naturels x pour lesquels les nombres a^x -\- b^, a^x -\- ôg, a^x -\- &3 sont dépourvus de diviseurs premiers carrés

Pour en déduire notre théorème, il suffit de prendre a^ = ^g = 1, ôj = 0

W SiERPiivrsKi, Varsovie

Über die gruppenalgebraische Struktur der Elementargeometrie

( Fortsetzung ) 4. Aufbau der Geometrie auf dem Spiegelungsbegriff

Wir wollen uns jetzt noch einer Entwicklungslinie m der geometrischen forschung zuwenden, die aus den soeben dargelegten Gedankengangen wachsen ist Es hat sich gezeigt, dass von der gruppenalgebraischen Seite her em axiomatischer Aufbau der Koftgruenzgeometne möglich ist Im Vordergrund steht dabei eine Gruppe mit einem invarianten Erzeugendensystem aus mvolutorischen Ele- menten Als Axiome werden einige Gesetze über mvolutorische Gruppenelemente postuliert Wir sind damit bei der reinen gruppentheoretischen Geometrie angelangt, die mit Arbeiten von Hjelmslev und Reidemeister aus den Jahren um 1930 ihren Anfang nahm und die seither von der Kieler Geometerschule Bachmanns wesentlich gefordert worden ist

Wir wollen hier kurz auf das Bachmannsche Axiomensystem eingehen Es geht von einer abstrakten Gruppe ® aus, in der ein invariantes Erzeugendensystem S aus mvolutorischen Elementen gegeben ist Wir bezeichnen die Elemente von S als Gruppen-Geraden, mvolutorische Elemente aus ®, die als Produkt von zwei Gruppen- Geraden darstellbar sind, sollen Gruppen-Punkte heissen^) Der Leser halte sich die Gruppe Я mit den Geraden- und Punktspiegelungen als Beispiel vor Augen Fur die Gruppen-Geraden und die Gruppen-Punkte behalten wir die Symbole Hg bzw Zq aus der Gruppe Я bei

In (5 werden nun eine Inzidenz- und eine Orthogonalitatsrelation eingeführt

Die Gruppen-Gerade Eg und der Gruppen-Punkt Z^ heissen mzident, wenn

Die beiden Gruppen-Geraden Zf und S g heissen orthogonal, wenn {Ef о Eg)^ = /

Diese Festlegungen erinnern uns an die beiden Äquivalenzen (1) und (2) m der Figur 7

* ) Bei Bachmann werden die Gnippenelemente als Geraden und Punkte bezeichnet Wir wollen diese Begriffe hier ausschliesslich fur geometrische Objekte reservieren