130 H. Guggenheimer: Ein Axiomensystem fur die euklidische Geometrie

Nach den Voraussetzungen kann in der ersten Gleichung P ^', in der zweiten P A vor die Klammer genommen werden. Eine einfache Elimination gibt dann

BB'^ - c^AA'^=^0 .

S . U . J^s seien m, n senkrecht zur Geraden h eines Winkels P (g, h). Der Scheitel P sei weder auf m noch auf n. Mit den Bezeichnungen von Satz 10 gilt

PB ^ PB' PA ~ PA"

Wir setzen P В = с PA und normalisieren die Abstände wie für den Beweis von S.IO. Die zweite Stewart-Gleichung des vorhergehenden Beweises gilt auch hier und kann in die Form

В Л'2 + (с - 1) P Л'2 - с Л Л'2 _ с (с - 1) P Л2 = О

gebracht werden. Nach Voraussetzung ist P A^ = А A'^ -\- P A'^, daher

В Л'2 + (2 с - 1) P Л'2 _ c2 P Л2 = 0 .

Die erste Stewart-Gleichung des vorhergehenden Beweises kann durch diese hung und PB^-= В B'^~\' P B'^ reduziert werden zu

- 2PA' -B'PicPA' Л-В' P)^^. Der Satz folgt sofort.

S . 12 . In jedem Punkt einer Geraden h existiert eine einzige Senkrechte zu h.

Die Existenz folgt sofort aus S.U. Nehmen wir jetzt an, dass zwei Senkrechte PB und QB durch В €h existieren. Nach II können wir BQ^=^BP^ = b^ annehmen. Wir wählen einen zweiten Punkt А €h und setzen А B^ ^ a^ A^ Q. Dann ist

Л P2 = Л Ç2 _ a2 + г>2 Ausserdem sei P Q^ ^ x^. Nach IV ist

PQ^'QA^'AB^ + PQ^ - QB^'AB^ + PQ^'PA^'AB^ - i^PQ^'PB^'A B^ + PA^'QA^'QB^+ PA^'A B^'QB^+PA^'P B^'QB^+PA^' PQ^'QB^ + PB^'QB^'QA^-^PB^'AB^'QA^+PB^'PQ^'QA^ + PB^'PA^'QA^ -PB^-QB^'PQ^-PB^'AB^'PA^-~-QA^'PQ^'PA^-QA^'QB^-AB^ -PQ^'A B^-PQ^'A B^-PA^^QB^-PA'^'QB^-PB^'QA^-PB'^^QA^

= a2 («2 4- 52) ^2 _^ cfl 52 д;2 4. ^2 (^2 _|. Щ ^2 4. ^2 ^2 ^2

- b (a2 -f- 52)2 г,2 4. д2 J2 (д2 4. ^2) 4. ^4 (^2 4. Щ 4. ^2 (^2 4. ^2) ^2

+ Ь^ (а2 -h Ô2) 4- а2 Ô2 (я2 4- Ъ^) 4- Ь^ {а^ Л- Ъ^) х^ + Ь^ (а^ + Ь^

- Ь^Х^ - а2 62 (^2 4- Ô2) ~ (а2 4- 62)2 д;2 _ д2 52 (^2 + ^2)

- а* л:2 - а2 л:* - 6* (а^ + ^>2) - 52 {а^ 4- ^2)2 - 5« (а^ 4- è^) - «>^ (а^ + ô^)^

= а2л;2(_д;2 4.4о2) = 0.

Also ist entweder x = 0, das heisst P = Q, oder a;* = 4 J2 und P, Q, В sind kollinear nach D.I.