El Math , Vol 45, 1990 163

denn es ist

PiQA - ^P2QB + P3QC=PiQA + p2QB + P3QC

- { PiP^ + P2PB^p^PC)==p,QP -^p^QP ^p^QP.

Die baryzentrischen Koordinaten eines Punktes P sind proportional zu den (orientierten) Inhalten der Dreiecke PBC,PCA, PAB. Dies folgt aus

p^ ( PB x¥c) = ¥b x{-p^PA -P2PB)

= -Pi (PB X РЛ) = pi (PA X ¥b) etc.

Beispielsweise hat der Dreiecksschwerpunkt 5, wegen der Inhaltsgleichheit der dreiecke SBC, S CA, SAB, die Koordinaten (1/1/1). Der Inkreismittelpunkt / hat die Koordinaten (a/b/c), der Ankreismittelpunkt /^ die Koordinaten (— a/b/c); man achte auf den Umlaufsinn der Dreiecke.

Bei Berechnungen ist es häufig nützhch, das baryzentrische Koordinatentripel (р^/Рг/Ръ) noch durch Pi + P2 + Рз zu dividieren, also so zu normieren, dass die Koordinatensumme

2 ) Wenn die Eckentfernungen ZA,ZB, Z С eines Punktes Z bekannt sind, lässt sich seine Entfernung von einem beliebigen Punkt PipJPz/PsX dessen baryzentrische Koordinaten normiert sind (p^ + P2 + Рз = 1), mit der folgenden wichtigen Formel berechnen:

ZP^=PiZÄ^ + P2Zß2 + P3ZC2-(a^P2P3 + b2p3Pi+^'PiP2). (13)

Beweis : Aus (11) folgt, immer unter Berücksichtigung der Normiertheit,

Zp = AP + (1 - P2 - Рз)РА H- P2PB + Рз PC = P2ÄB + Рз ЛС.

PÄ^ = р1с^ -i- 2р2РзЬссо8(х-{-plb^ = pIc^ + Р2Рз(- a^ -^b^ + c^) + РзЬ^.

p^YÄ^ -f P2ZI2 ^ p^2C2 =p^(ZP -^^ Jlf + ....

( Die Punkte stehen für die weiteren Glieder, die aus dem ersten durch zyklische schung hervorgehen)

= pJZP^ + 2Zp • S? + î^4^)-h ... = ZP^ + (PiPl^-h ...) = Zp2 + ((PiPic2 + piP2P3(-a2H-b2H-c2) + Pip| 6^)+...).

Es muss noch nach a^, b^, c^ geordnet werden. = ZP^ + P2Pзa^ + PзPlЬ^+PlP2C^ q.e.d.