El . Math., 47, (1992)

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werden als Riemannsche Summe für das Integral über die Funktion 1 / log x. Deshalb können wir schreiben

Г 1

df + f2 ( x ) ,

wo F2(x) ein neues Fehlerglied ist; die beiden Funktionen ¥\(х),¥г{х) sind allerdings nicht sehr verschieden. In der Tat kann man mit etwas Differential- und Integralrechnung auf einfache Weise zeigen, dass die Abschätzung

л logf .£^ log«

2<и<х

<3

gilt . Damit können wir i^ix) durch das Integral oder die Summe abschätzen. In gewisser Weise ist das Integral einfacher zu handhaben. Mit partieller Integration erhalten wir zum Beispiel sofort

J2 logt logx J2 (log

dt

( logO^ log 2

Auf der rechten Seite integriert man über eine Funktion, die viel kleiner ist als 1/logt, nämlich

1 1

log t log t

Diese strebt für ^ -> ©o in der Tat schneller gegen 0 als 1/logf. Für f —> 00 können wir deshalb das Verhalten von 7г(х) durch die Formel

X 7Г(х) = :;-------+0

logx

\logxJ

beschreiben , wo wir in der üblichen Weise mit Hilfe des Symbols о ein Fehlerglied f з(х) bezeichnet haben, für das

л : - >оо (x/lOgX)

gilt . Nun ist X /logx keine sehr gute Approximation von 7r(x), weil wir anstelle der guten Summe einfach die gesamte Anzahl der Zahlen von 1 bis x genommen haben und durch die höchste Wahrscheinlichkeit, nämlich logx geteilt haben. Es ist klar, dass dies keine sehr gute Approximation liefert; denn bei der Division von x durch log x haben wir eine nur sehr grobe Abschätzung verwendet. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten oder das Integral sollten demgegenüber ein besseres Resultat liefern. Trotzdem hat der Ausdruck einen Vorteil: Es ist eine schöne Formel, welche in gewisser, wenn auch grober Weise eine Antwort auf unsere erste Frage gibt. Diese Antwort wurde um 1890 herum gefunden, und sie ist vollständig bewiesen: