El . Math., 47, (1992)

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oder besser

л (log«

'^^^^^ - ^^ I ö^'^^

genügt , wo Cz eine positive Konstante ist, welche die wahrscheinlichkeitstheoretischen Abhängigkeiten beschreibt. Das Problem ist dann, diese Konstante Cz zu berechnen. Wir werden weiter unten eine explizite, allerdings recht komplizierte Formel für diese Konstante angeben und zwar in Form eines unendlichen Produktes. Die Geschichte der Konstanten Cz ist sehr interessant. Sylvester in 1871 und Brun in 1915 haben einen falschen Ausdruck dafür angegeben, weil sie verschiedene versteckte lichkeitstheoretische Abhängigkeiten zwischen Primzahlen übersehen haben. Hardy und Littlewood haben dies 1923 [HaL 23] festgestellt, und sie haben ihrerseits eine tung für den "richtigen" Wert formuliert. "Richtig" bedeutet in diesem Zusammenhang, dass man eine Tabelle für die Werte von 7rz(x) und die Werte von

y

Cz

( 10gX ) 2

aufstellen kann, welche die Vermutung von Hardy-Littlewood empirisch verifiziert. Wir haben hier "richtig" also im Sinne der Physik gebraucht. Der Wert, den Hardy und Littlewood für die Konstante Cz angeben, ist

p ungerade ^ '

WO das Produkt über alle ungeraden Primzahlen p zu erstrecken ist.

Wir kommen nun zu der dritten Frage. Was ist die asymptotische Abschätzung für die Anzahl ttqCx) von Primzahlen p < x mit p = fc^ + 1 für eine gewisse positive ganze Zahl kl Mit der selben heuristischen Technik wie oben haben wir die keit zu beschreiben, dass n von der Form n = fc^ -H 1 und eine Primzahl ist. Diese

Wahrscheinlichkeit sollte durch

1 1

logn i/n

gegeben sein. Wegen log л/х = | log x, kommt es bis auf einen konstanten Faktor nicht drauf an, ob wir log n oder log v^ schreiben. Wir können dann die Summe

y - _L . _L

2<n<x ^ ^

bilden oder das Integral

r_L_ Л Vt'iogt

dt

Wiederum behandeln wir das Integral mit partieller Integration und werden damit zu der folgenden Vermutung geführt:

TTQix ) r^ Cq

logx