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El . Math. 50 (1995)

mit 5fz. Deshalb durchlaufen die Zahlen w -f jh{c) bzw. w -\- jh{5^), j = 0,1,... ,4 jeweils dieselben Reste modulo h{5^). Es folgt, dass die Zahlen F^^j^^ j = 0,1,... ,4 dieselben Reste modulo 5'' durchlaufen wie die Zahlen F^^j^y^, welche nach Lemma 8 aus [1] paarweise verschieden modulo 5^^^ sind. Daher sind die F^^j^ic), j = 0,1,... ,4 erst recht modulo 5c paarweise verschieden.

Damit ist Satz 2 vollständig bewiesen.

Aufgrund der bisherigen Ergebnisse lässt sich aus der Gleichverteilung der Fibonacci- Folge modulo 5 sofort die Gleichverteilung der Fibonacci-Folge modulo 5^ mit к > l gewinnen, weil in diesem Falle q = l gilt, und deshalb der Häufigkeitsblock modulo 5^ mit /c > 1 nur die Elemente des Häufigkeitsblocks modulo 5 enthalten kann.

Satz 2 lässt sich verallgemeinem zu

Satz 3. Für m = 5^ ' с mit 2 < с = 5^ - s, t > l, r > 0, 5]s und Us{h{s)) < r besteht der Häufigkeitsblock modulo m aus der 5^-maligen Wiederholung des Häufigkeitsblocks modulo с, wobei dessen Elemente mit q = h{m)/{5^ ■ h{c)) multipliziert werden.

Der Beweis folgt durch iterative Anwendung von Satz 2. Man beachte hierbei, dass bei den einzelnen Iterationsschritten jeweils q = l ist, höchstens mit Ausnahme des letzten Schrittes.

5 Ausblick

Für die Fibonacci-Folge (f „ ) kann die erwähnte Wiederholung in den Häufigkeitsblocks erst dann bestehen, wenn alle im Satz 3 aufgezählten Bedingungen erfüllt werden. Nicht betrachtet haben wir in unserer Arbeit allgemeinere Fibonacci-Folgen. Analoge Resultate lassen sich wohl auch für diese erhalten. Wir hoffen, den Leser dazu angeregt zu haben, die entsprechenden Überlegungen selbst durchzuführen.

Literatur

[ 1 ] Bundschuh, P. On the distribution of Fibonacci numbers, Tamkang J Math 5 (1974), No 1, 75-79

[ 2 ] Darvasi, G Computerunterstutzte Behandlung der Verteilung von Resten der Fibonacci-Folge mod 5c, Praxis Math., 31 (1989), 242-244

[ 3 ] Gottsch, G.: Über die mittlere Periodenlange der Fibonacci-Folgen modulo p, Dissertation, Hannover 1982

[ 4 ] Kuipers, L und Shiue, J.-S • A distribution property of the sequence of Fibonacci numbers, Fibonacci Quart 10 (1972), 375-376, 392

[ 5 ] Niederreiter, H.- Distribution of Fibonacci numbers mod 5^^, Fibonacci Quart 10 (1972), 373-374

[ 6 ] Niven, I." Uniform distribution of sequences of integers. Trans Amer Math Soc 98 (1961), 52-61

[ 7J Stanley, T.E . Some remarks on the periodicity of the sequences of Fibonacci numbers, Fibonacci Quart 14 (1976), 52-54

[ 8 ] Vince, A. The Fibonacci sequence modulo n, Fibonacci Quart 16 (1978), 403^07

[ 9 ] Wall, D.D.' Fibonacci series modulo m. Amer. Math. Monthly 67 (1960), 525-532

Gyula Darvasi Steffen Eckmann

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