1 , 5. Kongruenz.
Il
und erklären:
Ш ist kongruent zu Ш bezüglich der Schar g, in Zeichen
wenn es eine Transformation F aus 5 gibt y für die (1) erfüllt ist. Wir nennen eine Eigenschaft einer Menge oder eine Beziehung zwischen Mengen invariant gegenüber fj, wenn sie mit Ш auch jeder kongruenten Menge Ш zukommt.
Offenbar läßt sich dann ganz wie oben /, 3 beweisen : Bildet die Schar % eine Gruppe von Transformationen, so ist die Kongruenz züglich 5 sjonmetrisch und transitiv, d. h.
aus9№ = il folgt Ш^Ш und
aus9K = iF, Ш^Ш folgt 9К = Ж.
Wegen dieser beiden Sätze sind alle zu ЗЙ kongruenten Mengen auch untereinander kongruent. Dies veranlaßt uns zu der folgenden Begriffsbildung. Unter m [SR] wollen wir die Gesamtheit der zu Ш kongruenten Mengen verstehen. Ist
Ж = »г, so ist ш[Ш1]=П1[ад, d. h. so ist die Gesamtheit der zu 9R kongruenten Mengen mit den zu Ш kongruenten Mengen identisch, und umgekehrt. Das folgt aus der Transitivität der Kongruenz. Diese formale Bildung gibt uns ein Mittel an die Hand, um später in systematischer Weise Begriffe wie „ zahl der Länge einer Strecke" oder kürzer „Länge einer Strecke", ,,Koordinatenvektor" und „natürliche Koordinaten*' zu bilden.
Satz 1: Die Kongruenzbeziehung zwischen zwei Mengen ist eine variante Beziehung, Denn aus 501 = 9R folgt F (SR) = F (Ж) für alle F aus §. Ist nämlich Ж = Fq (9R), so ist
F ( W ) =FFoF - i ( F ( aR ) ) .
Der Zusammenhang zwischen kongruenten Mengen und formationen wird durch die folgenden Sätze verdeutlicht:
Satz 2: Die Transformationen F, welche die Elemente Z einer Menge Ш in sich überführen, bilden eine Gruppe.
In der Tat, wenn F die Z^, Zg, . . ., Z„ sich selbst zuordnet, so ordnet auch die inverse Funktion F"^ diese Elemente sich selbst zu, und wenn Fl imd F2 die Elemente Z^, Zg, . . ., Z„ sich selbst zuordnen, so ordnet auch F^F^ diese Elemente sich selbst zu.
Satz 3: Sind Ш und SR kongruente Mengen, so ist die Gruppe von Transformationen, welche SR fest läßt, zu der Gruppe von Transformationen, welche SR in sich überführt, konjugiert.