I , 17. Affine und projektive Transformationen.

25

17 . Affine und projektive Transformationen. Die Transformationen (P), welche die Gerade

in sich überführen, für die also aus Xq = 0 stets x* =0 folgen soll, müssen die Gestalt

Xq ---- Uqq Xq ,

( A * ) ^:f =aio^o+«ll^l+^2^^2» «Oo4=0, «u«22— %2«21 + 0,

X2 = ^20*^0 I ^21''^l i ^2-'^2

haben . Betrachten wir die Punkte mit Xq 4= 0, so können wir diesen statt des Zahlentripels (x^) die Verhältnisse

t __^1 t __^

eineindeutig zuordnen, und die Transformationen (A*) gehen alsdann in allgemeine affine Transformationen der Zahlenpaare Si, fa über.

Die projektiv-invarianten Eigenschaften von Punktmengen und der Geraden Xq =0 sind also identisch mit den affin-invarianten schaften dieser Punktmengen. Gerade der affinen Geometrie sind auch Gerade der projektiven Geometrie und umgekehrt, ausgenommen die projektive Gerade Xq = 0. Parallele Gerade der affinen Geometrie haben einen Punkt auf дго = ^ gemeinsam.

Als Bezugsmengen der projektiven Geometrie kann man vier Ptmkte nehmen, die zu je dreien linear unabhängig sind. Die Klasse der mengen besteht alsdann aus der Gesamtheit solcher Mengen.

1 . Zunächst lassen sich nämlich durch die Transformationen (P) Repräsentanten dreier linear unabhängiger Punkte x^, yi, Zi bzw. in die Repräsentanten dreier beliebiger anderer linear unabhängiger Punkte xf,y*,zf überführen.

2 . Ferner sind 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1 Hnear unabhängig, und die Gesamtheit der projektiven Transformationen, welche diese drei Punkte in sich überfüht^n, sind

xf = a^Xi, (i = 0,1, 2), Uqq an «22 + 0.

Es läßt sich also unter Festhaltung von 1,0,0; 0,1,0; 0, 0,1 noch jeder Punkt xXi, der sowohl von 1,0,0; 0,1, 0 wie von 0, 1,0; 0, 0,1 und von 0,0,1; 1,0,0 linear unabhängig ist, für den also alle х^=^0 sind, in jeden anderen solchen Punkt überführen.

3 . Eine Transformation, welche die Punkte 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1 und 1,1, 1 fest läßt, ist die Identität.

Aus 1 und 2 folgt, daß sich irgend vier Punkte, die zu je dreien linear unabhängig sind, in 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1; 1,1,1 imd also auch in vier andere Pimkte mit denselben Eigenschaften überführen lassen; hieraus, aus 3. und 1,5 Satz 3 folgt, daß eine Transformation,