Das Auflösungsproblem in der Klassenlogik

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Der Bereich ® erscheint hiernach, was die Mannigfaltigkeit der bolischen Möglichkeiten als solche betrifft, als der umfassendste bereich, innerhalb dessen sich das beschriebene Auflösungsschema ständig und zwangsläufig durchführen läßt. Extensional betrachtet, d. h. sofern man durch äquivalente Umformung ineinander überführbare Formen nicht als verschieden rechnet, ergibt sich freilich gegenüber dem Bereich © nichts Neues.

Der Vollständigkeit halber sei noch erwähnt, daß außer den gezählten Bestandteilen auch noch Aussagensymbole p, g,... frei oder auch gebunden auftreten könnten, ohne die allgemeine keit des Verfahrens in Frage zu stellen. Freilich spielen Formen, in denen diese Symbole zusammen mit den früheren vorkommen, in der Logik so gut wie keine Rolle.

Ein gewisses grundsätzliches und formales Interesse hat immerhin der Fall, daß überhaupt nur Aussagensymbole — und zwar frei, da wir uns gebundene Aussaugen eliminiert denken können (B 193 f.) — elementar verknüpft erscheinen, was ersichtlich auf das problem innerhalb der elementaren Aussagenlogik auskommt.

Grundsätzlich angesehen, könnte man auch dieses Problem als in gewisser Weise auf das frühere zurückführbar und damit als bereits erledigt betrachten. Man kann nämlich innerhalb des Klassenkalküls formal die Verhältnisse des Aussagenkalküls — abgesehen von der auf S.lOSiangedeuteten Möglichkeit^— in der Weise realisieren, daß man entweder den Elementbereich 9,1s aus nur einem Ding bestehend voraussetzt, d. h. i^ als Prämisse hinzufügt — wobei an Stelle einer Grundaassage p nunmehr ^'a bzw. i« und an Stelle ihrer Negation ^a erscheint — oder aber p, q,.,, durch a«, /5^, . . . vertreten läßt, wo a als ein zusätzliches bekanntes Ding behandelt wird. Damit wäre das Problem in der Tat auf ein solches aus 31 oder aus (S zurückgeführt. Indessen würde eine derartige Zurückführung nicht allein in der Praxis wiederum eine unnötige Künstlichkeit und Weitläufigkeit bedingen, sondern vor allem insofern den Grundsätzen eines vernünftigen Aufbaues des Gesamtgebietes widerstreiten, als ja, wie heute allgemein anerkannt ist, die Aussagenlogik fder Begriffs- und Klassenlogik voranzugehen hat. Demnach würde bei einer streng systematischen Darstellung unseres Gesamtproblems das aussagenlogische Auflösungspl-oblem, genau nommen, natürlich an den Anfang gehören.

Ist die gegebene Form Fpq,,. z. B.

( р ) д ) Лд ) r)

mit q als Unbekannter 87), so gewinnt man — in enger Analogie zu dem Verfahren für Klassen — aus der konjunktiven Normalform

'^ ) Dies ist augenscheinlich dasjenige Problem, auf das unser erstes Beispiel gemäß der Überlegung von S106 f. zurückzuführen sein würde.

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