Die Oesamtheit der idempotenten impHkativen Modalitätenstrukturen 31

Hilfssatz i. Die Sätze aus §§ 2—6 von FJJM gelten, soweit sie sich auf Jt/Ж-Strukturen beziehen, ebenso für beliebige Ä"-Strukturen. Die Definition des „i^-Systems** (FJJM, S. 49) läßt sich ebenso auf beliebige J?'-Strukturen ausdehnen.

Man überzeugt sich nämlich leicht, daß auf die Bedingung 3., die den Unterschied zwischen den JJJfef-Strukturen und den X-Strukturen ausmacht, in den Beweisen der betreffenden Sätze und in den setzungen der betreffenden Definitionen nirgends Bezug genommen wurde.

Definition . Eine Implikation zwischen zwei positiven bzw. zwischen zwei negativen Werten (FJJM, S. 35) heiße positiv bzw. negativ. Positive und negative Implikationen heißen ungemischt. — Eine Implikation der Gestalt Л—>a heiße trivial. (Entsprechende Festsetzungen sollen für Gleichheiten gelten.)

Hilfssatz 2. Keine der in FJJM aufgestellten Schlußregeln Jl—9, Gl—4, J5*—7* führt von ungemischten Implikationen oder heiten auf gemischte.

Hilfssatz 3. — (1) Eine Implikation oc—^ß gehört genau dann zu einer jK"-Struktur, wenn die zugehörige Hauptwertimplikation л*~> j8* zu ihr gehört. (2) Eine Gleichheit а = ß gehört genau dann zu einer iT-Struktur, wenn die Implikationen a-~>jS und ß-^oc zu ihr gehören.

Beweis zu (1). Nach den Sätzen 8 und 9 aus FJJM und Hilfssatz 1 (s. oben) gilt in jeder iT-Struktur a* =ос, j8* = ß. Die Regeln J8, 9 (FJJM, S. 37) sind in jeder iC-Struktur gültig.

Beweis zu (2). Die Regeln Jl—3 sind definitionsgemäß in jeder K- Struktur gültig.

Satz 1. Jede JJÜf-Struktur 30t kann implikativ erzeugt werden (Def. FJJM, S. 38), und zwar aus lauter positiven ^SЯ-Axiomen.

Аптпегкипд . Der Satz gilt ebenso für beliebige iST-Strukturen, doch wird dies hier nicht benötigt.

Beweis des Satzes 1. — Jeder Implikation«—>j9 aus SDt ist eine wertimplikation oc*—^ß* zugeordnet (л*,/3* Hauptwerte). Da es nur 14 Hauptwerte gibt, existieren nur endlich viele (14^) Hauptwert- impUkationen.

Alle diejenigen positiven Hauptwertimplikationen, die mindestens einer Implikation aus Ш zugeordnet sind, seien mm mit der Implikation mm—>m zu einer Menge © zusammengefaßt. © erzeugt, als Äf- menge aufgefaßt, implikativ (durch Abschluß gegen Jl—7 zusammen mit la—c®, III und J, s. FJJM, S. 39) eine Implikationenmenge й (der Einfachheit halber ist hier zugelassen, daß überflüssige /S-Axiome geführt werden). Die iSÄ-Axiomenmenge geht aus © bei Ersetzung der Implikation mw—^w durch w—>t» hervor.